函数的单调性与曲线的凹凸性.pptVIP

专题：函数的单调性，凹凸性，极值及最值 函数的单调性与曲线的凹凸性 重点：函数单调性与凹凸性的判别法、曲线的拐点 难点：用函数单调性与凹凸性的判别法证明不等式 考点：确定单调区间、凹凸区间、证明不等式、求曲线的拐点 函数单调性的判定 利用单调性证明不等式 将不等式左、右两边的式子移到同一边构造辅助函数f(x). 改证f(x)0（或0)，可得单调性。 再将f(x)与区间左或右端点的函数值进行比较，即可得证。 求拐点的步骤 先求二阶导数f”(x) 解出f”(x)=0在定义域I上的实根以及在I内f”(x)不存在的点 再对求出的每个点x0，若f”(x)在x0两侧符号相反，则(x0,f(x0))是拐点 利用凹凸性证明不等式 对于含有f((a+b)/2)与(f(a)+f(b))/2式子的不等式证明，可考虑用凹凸性的定义来证明。步骤是先判定f(x)在区间上的凹凸性，再用凹凸性的定义证之。 在解决单调性、凹凸性、极值、最值的问题时，我们会用得上很多“点”。 驻点——导数为0的点称为驻点。也叫稳定点或临界点。 拐点——曲线凹与凸的分界点 极值点——函数在该点取得极值的点。包括极大值点和极小值点。 函数的极值与最大值，最小值 重点：极值与驻点的概念，极值判别的必要条件和充分条件，最大值、最小值求法。 难点：判别函数的极值，求实际问题的最大、最小值。 考点：利用极值存在的必要条件和充分条件求极值或证明相关问题，用最大、最小值解应用题。 求极值的步骤 第一判别法： 求出f(x) 求f(x)的所有驻点和不可导点 检查f’(x)在每个驻点和不可导点两侧是否异号，以确定该点是否为极值点 求出各极值点的函数值 第二判别法： 求f’(x),f”(x) 求驻点，令f’(x)=0，解出x1,x2,… f”(x1)___0 f”(x2)___0 … 若0,则对应极小；若0,则对应极大；若=0，则再用第一判别法 极值补充说明 极值是一个局部的概念，其定义中的邻域究竟有多大无关紧要;最大（小）值是一个整体概念，是相对于整个区间而言。 极值点要在稳定点中寻求（前提是导函数存在），而稳定点不一定都是极值点。 导数为零的点不一定是极值点。例：f(x)=x3，在x=0处，f(0)=0,但x=0不是极值点。 若f“(x0)=0,则x0不一定是极值点。 可导函数没有极值有两种情况：1.无驻点即f’(x)=0无实解；2.驻点都不是极值点。 求定义在[a,b]上函数f(x)最值的一般步骤 求f’(x)=0的根，记为x1,x2,x3,…,xm 求导数不存在的点，记为y1,y2,y3,…,yn 计算f(xi),i=1,…,m, f(yj),j=1,…,n以及区间端点的值f(a),f(b) 比较第三步中的结果，得到最大、最小值 最值补充说明 当f(x)在[a,b]上只有一个极值可疑点时，若在此处取得极大（小）值，则也是最大（小）值 当f(x)单调时，最值必然在端点处取得 对于应用问题，有时可根据实际意义判别求出 不对分段函数的分界点求导，对该种可疑点，求值即可，不需求该点导数 期末考试 is coming~~~科科全过，门门全优！ 谢谢 Page ? * * * * * * * * 单调性和凹凸性 单调递增 单调递减 说明 定义 f(x)在[a，b]上连续，当aX1X2b时， 有f(X1)f(X2),则称f(x)在[a,b]上单调递增 f(x)在[a，b]上连续，当aX1X2b时， 有f(X1)f(X2),则称f(x)在[a,b]上单调递减 判别定理 设f(x)在[a，b]上连续，并在（a,b）上可导， 若f’(x)0，x∈(a,b). 则f(x)在[a,b]上单调递增 若f’(x)0 ，x∈(a,b). 则f(x)在[a,b]上单调递减 至多在区间上有限个点处取“=”号 Page ? * * * * * 单调性和凹凸性 * *