函数的单调性与导数.pptVIP

* 复习引入： 1、一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若 对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1x2时，有 问题1：函数单调性的定义怎样描述的? 　 (1)若f(x1)f (x2) ，那么f(x)在这个区间上 是增函数. (2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数. (2)作差f(x1)－f(x2) (作商) 2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)任取x1、x2∈D，且x1 x2. (4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与０比较) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式) (5)结论 练习：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. 定义法 单增区间：(２，+∞). 单减区间：(－∞，２). 图象法 思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象 时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法 呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来 考察单调性与导数有什么关系 2 y x 0 . . . . . . . 再观察函数y=x2－4x＋3的图象： 总结: 该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负; 而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变. 在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正. x y O x y O x y O x y O y = x y = x2 y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 结论：在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减. 如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数 结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数 如果f′(x)0, 则f(x)为增函数; 则f(x)为减函数. 如果f′(x)0, 例1、求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间. 例题分析 f(x)的单增区间为（－∞，0）和（2，＋∞） f(x)的单减区间(0,2) 说明：当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点 单调性发生改变. 小结：根据导数确定函数的单调性步骤： 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f′(x)0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)0,得函数单减区间. 例2、判定函数 y=ex-x+1 的单调区间. 递增区间为(0,+∞) 递减区间为(-∞,0) 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间： 例题分析 (1)f(x)= (2)f(x)=sinx-x，x∈(0,π) (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1 注意：考虑定义域 A B x y o 2 3 2．应用导数信息确定函数大致图象 例3、已知导函数的下列信息： 试画出函数f(x)图象的大致形状。 小结：1）用导数判断函数单调性步骤； 2）应用导数判断函数图象。 *