函数的连续性.pptVIP

一、最大值和最小值定理 例8 解 例9 解 同理可得 下面介绍定义在闭区间上的连续函数的三个基本性质，由于证明要用到实数理论。我们只从几何直观上加以说明，将严格的证明略去。 五、闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值和最小值定理) 闭区间上 的连续函数一定存在最大值和最小值 x1 x2 至少存在一个 最高点(x1, f(x1))和 最低点(x2, f(x2)), 使得?x?[a,b] 有f(x1)≥f(x) f(x2)≤f(x) * 2.8函数的连续性 一、函数改变量 二、连续函数的概念 三、函数的间断点 四、连续函数的运算法则 五、在闭区间上连续函数的性质 六、利用函数连续性求函数极限 一、 函数改变量（函数增量） 1. 改变量的定义： 设变量t从它的初值t1改变到终值t2，终值与初值的 差t2-t1,称为t的改变量，记作: △t=t2-t1 。 注：改变量既可以为正也可以为负。 函数的增量: 设函数y=f(x)的定义域为X,如图所示 ?x=x?x0,称为自变量在点x0的增量 ?y=f(x)?f(x0)或?y=f(x0+?x)?f(x0)称为函数的增量 x y o x y o x x y y x y x y x0 f (x0) A B x? x0 x? x0 从图上可看出, ?(x)在x0间断. 但f (x)在x0连续. ?(x)在x0的极限不存在, 而 y y x0 y = ?(x) y = f (x) 3. 函数连续的定义 讨论: 函数连续的三要素 例 证 例1 证 由定义知 3.单侧连续 定理 例 解 右连续但不左连续 , 例. 问a为何值时, f (x)在x=0连续. 解: f (0)=3 = 3 f (x)在 x = 0右连续. 为使f (x)在x=0连续, 必须 f (0–0)=f (0)=f (0+0) 即, a=3. 故, a=3时, f (x)在x=0连续. = a 例 若 在 连续， 所以 求 解 由于 处连续， 在 而 故由 得 解得 （舍去）， 所以 , 4.连续函数与连续区间 在开区间（a,b）内每一点都连续的函数,叫做在该区间内的连续函数,或者说函数在该区间内连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 三、函数的间断点 定义2.15 如果函数 在点 处不满足连续条件，则称函数 在点 处不连续，或者称函数 在点 处间断。点 称为 的间断点。 显然，如果函数 在点 处有下列三种情形之一，则点 为 的间断点： （1）在点 处 没有定义； （2） 不存在； （3）虽然 有定义，且 存在，但是 1.跳跃间断点 例 解 2.可去间断点 例4 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例4中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 第一类间断点 o y x 跳跃型 可去型 o y x 3.第二类间断点 o y x 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x 例5 解 例6 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 例 定理1 例如,因为 四、连续函数的运算法则 利用前面定理可以证明： （1）多项式函数 在 内连续； （2）分式函数 除分母为0的点不连续外，在其它点处都是连续 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ 初等函数的连续性 定理 基本初等函数在定义域内是连续的. ★ (均在其定义域内连续 ) 定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 注意　 注意　2. 初等函数求极限的方法代入法. 例10 例11 解 解 定理 例如, 连续函数的复合函数仍然是连续函数 ３.复合函数的连续性 定理 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; *