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数学建模 温州医学院数学建模基地 练习1.雨中行走问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如田七牙膏50g装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这种现象。 (1)分析商品价格c与商品重量w的关系，价格由生产成本，包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比有的与表面积成正比，还有与w无关的因素 (2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小，解释实际意义是什么。 §5 煤矸石的堆积问题 一.问题的提出 煤矿采煤时,会产出无用废料——煤矸石。在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石，通常矸石的堆积方法是： 架设一段与地面角度约为 的直线型上升轨道。用在轨道上行驶的矸车将矸石运到顶端后倾倒。待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来。 * * * * 一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。 1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度 2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）风速保持不变。 4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。 2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。淋雨总量用 升来记。 3 模型建立与计算 1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨的面积 雨中行走的时间 降雨强度 模型中 结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。 从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。 原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。 2）考虑降雨方向。 人前进的方向 若记雨滴下落速度为 （米/秒） 雨滴的密度为 雨滴下落的反方向 表示在一定的时刻 在单位体积的空间 内，由雨滴所占的 空间的比例数，也 称为降雨强度系数。 所以， 因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。 顶部的淋雨量 前表面淋雨量 总淋雨量（基本模型） 可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。 情形1 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得 情形2 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得 情形3 此时，雨滴将从后面向你身上落下。 出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从 你的前面落到身上情形。 因此，对于这种情况要另行讨论。 当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是 淋雨总量为 再次代如数据，得 结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。 若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角从背后落下，你应该以 此时，淋雨总量为 这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。 当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即 你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是 淋雨总量为 4 结论 若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单， 应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于落雨速度的水平分量。 5 注意 关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。 雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。 练习2 学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， d’Hond