初等数论一夏子厚.pptVIP

初等数论(一) Number Theory（Chap1） 《初等数论》课程内容 第一章? 整除性质 第一节 整除与带余除法 第二节 最大公因数 第三节 最小公倍数 第四节 辗转相除法 第五节 算术基本定理 第六节 函数[X]、{X}的性质及其应用 《初等数论》课程内容 第二章? 不定方程 第一节 二元一次不定方程 第二节 多元一次不定方程 第三节 勾股数x2 ? y2 = z2 《初等数论》课程内容 第三章? 同余性质 第一节 同余的概念及其基本性质 第二节 完全剩余系 第三节 欧拉函数与简化剩余系 第四节 欧拉定理与费马定理 《初等数论》课程内容 第四章? 同余方程 第一节 一次同余方程 第二节 孙子定理（中国剩余定理） 第三节 质数模的同余方程 第四节 二次同余方程与平方剩余 第五节 勒让德符号与二次互反律 第六节 雅可比符号 第一章 整数性质 教学目的和要求 （1）深刻理解整除、最大公因数、最小公倍数、质数的概念，正确理解带余数除法和算术基本定理的意义及作用。 （2）掌握并能直接运用辗转相除法求最大公因数。 （3）熟练掌握整除、质数、最大公因数和最小公倍数的基本性质，理解并掌握函数[x]、{x}的概念和基本性质，会求n!的标准分解式（n较小）。 第一节 整除与带余数除法 定义1 设a，b是整数，b ? 0，如果存在整数q，使得 a = bq 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a是b的倍数，b是a的因数（约数或除数），并且记作：b?a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称b不能整除a或a不被b整除，记作：b a。 第一节 整除与带余数除法 定理1 下面的结论成立： (1) a?b，b?c ? a?c；（传递性） (2) m?a，m?b ? m?(a±b) (3) m?ai，i = 1, 2, ?, n ? m?a1q1 ? a2q2 ? ? ? anqn， 此处qi∈Z（i = 1, 2, ?, n）。 第一节 整除与带余数除法 注： ① a?b ? ?a??b； ② b?a ? bc?ac，此处c是任意的非零整数； ③ b?a，a ? 0 ? |b| ? |a|； b?a且|a| |b| ? a = 0。 ④an- bn=(a-b) M1, n∈Z an+bn=(a+b)M2, 2 n, M1 , M2∈Z 第一节 整除与带余数除法 定理2(带余数除法) 设a与b是两个整数，b 0，则存在唯一的两个整数q和r，使得 a = bq ? r，0 ? r b。 (1) 此外，b?a的充要条件是r=0 第一节 整除与带余数除法 证明： 存在性 作整数序列： …，-3b，-2b，-b，0，b，2b，3b，…. 则a必在上述序列的某两项之间，即存在整数q，使得： qb? a (q+1) b 成立，令a-qb=r，则a=bq+r，且0 ? r b。 第一节 整除与带余数除法 唯一性 假设有两对整数q ?，r ?与q ??，r ??都使得式(1)成立，即 a = q ??b ? r ?? = q ?b ? r ?，0 ? r ?, r ?? b， 则 (q?? ? q ?)b = r ? ? r ??，0 ?|r ? ? r ??| b， … … … … … … … (2) 因此由b | |r ? ? r ??|知r ? ? r ?? = 0，r ? = r ?? 再由式(2)得出q ? = q ?? 从而q和r是唯一的。 第一节 整除与带余数除法 定义2 称式(1)中的q是a被b除的商，r是a被b除的余数。 我们设b=15，则： 当a=255时，a=17b+0, r=015, 而q=17; 当a=417时，a=27b+12,r=1215,而q=27; 当a=-81时，a=-6b+9, r=915, 而q=-6。 第一节 整除与带余数除法 由定理2可知，对于给定的正整数b，可以按照被b除的余数将所有的整数分成b类。在同一类中的数被b除的余数相同。这就使