初等数论基本概念.pptVIP

* * 初等数论教学设计 唐山师范学院滦州分校 朱国 Email:tsmaths@126.com 序言 欧几里德 高斯 费马 欧拉 拉格朗日 毕达格拉斯 数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（elementary number theory）。 初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。 近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。可见高斯对数论的高度评价。 由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。 数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。 一、 基本内容 整除，因数与倍数，带余除法，最大公因数与辗转相除法，最小公倍数，素数与复合数，算术基本定理与标准分解式，Eratosthenes筛法，Mersenne数，Fermat数，完全数，线性不定方程，抽屉原理。 基本概念： 自然数（非负整数）： 把0，1，2，3，…，n叫做自然数。 自然数集N 正整数，正整数集 整数、整数集z 第一节 进位制与计数法 一、十进位制及其计数法 进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。 一般地说，进率是几，就叫做几进位制。例如有二进位制、八进位制、十进位制、十二进位制、六十进位制等。我们通常是用“十进位制计数法”，它的特点是相邻两个单位之间的进率都是“十”（即满十进一），用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，0和位值原则结合起来记数。如一百三十五记作135。 对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。 常见的进位制： 二进制广泛用于计算机 三进制用于军队编制 十进制最常用 十二进制时辰、月份、一打物品 十六进制广泛用于计算机 六十进制秒、分,角度  ?不同进位制之间的互化： 例：二进制的四则运算 ? 化成十进制 例二、化成二进制 例三、二进制与八进位互换 例4 已知求证： *