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初等数论(二) Number Theory（Chap2） 第二章 不定方程 教学目的和要求 （1）正确理解不定方程的基本概念。 （2）熟练掌握二元一次不定方程的解法和勾股不定方程解的结构，掌握二元一次不定方程与多元一次不定方程解的关系，会解三元一次不定方程和简单的高次不定方程，会应用不定方程解某些实际问题。 本章重点是二元一次不定方程和勾股不定方程。 第一节 二元一次不定方程 二元一次不定方程的形式： ax ? by = c a,b,c∈Z,且ab≠0 (1) 不定方程的基本问题是 (1) 方程有没有解？ （2）若有解，怎样求出它的解？ 定理1 方程(1)有解的充要条件是 (a，b)?c 第一节 二元一次不定方程 证明：必要性：若（1）式有一整数解（x0, y0），则 a x0? b y0= c 因(a，b)? a，(a，b)? b，从而(a，b)?c 充分性：若(a，b)?c，则c=c1(a，b)，c1∈Z。由裴蜀恒等式知，存在s,t ?Z,使得 as+bt=(a,b)。 令x0 =s c1, y0 =t c1 ,即得 a x0? b y0= c 。故（1）式有整数解（x0, y0）。 第一节 二元一次不定方程 定理2 设a，b，c是整数，若方程ax ? by = c有解(x0, y0)，则它的一切解具有 ， t?Z (2) 的形式，其中 。 第一节 二元一次不定方程 证明 容易验证，由式(2)确定的x与y满足方程(1)。下面证明，方程(1)的解都可写成式(2)中的形式。 设(x, y)是方程(1)的解，则ax0 ? by0 = ax ? by = c，得到a(x ? x0) = ?b(y ? y0)，即： 第一节 二元一次不定方程 由此，以及 和第一章第三节定理4，得到 x ? x0，因此存在整数t，使得 故 t?Z 第一节 二元一次不定方程 注：定理1和定理2说明了解方程(1)的步骤： (1) 判断方程是否有解，即(a, b)?c是否成立； (2) 若方程(1)有解，即(a, b)?c成立。则把 方程 (1)改写为 显然上式与方程(1)同解。 若可用观察法得到上式的特解x0，y0，则可进行下一步；若不易用观察法得到，可利用辗转相除法先求出a1x ? b1y =1的特解x0，、y0，，再求a1x ? b1y = c1的特解x0，y0 。 第一节 二元一次不定方程 (3) 写出方程(1)的解 例1：求7x+4y=100的一切整数解 解：因（7，4）=1，从而原方程有解。其特解为x0 =0，y0 =25。 故其一切整数解为x=4t，y=25-7t t?Z。 第一节 二元一次不定方程 例2：求111x－321y=75的一切整数解 解：因（111，321）=3，3︱75，从而原方程有解。且其解与37x-107y=25的解相同。 先利用辗转相除法求37x-107y=1的特解（x0，、y0，）。 由107=37×2+33 37=33×1+4 33=4×8+1 第一节 二元一次不定方程 得 1=33-4×8 =107-37×2-（37-33）×8 =107-37×10+33×8 =107-37×10+（107-37×2）×8 =107×9-37×26 =37×（-26）-107×（-9） 从而x0， = -26、y0， =-9 因此 x0 =-26×25，y0 =-9×25。 故 x=-26×25-107t，y=-9×25-37t t?Z。 第一节 二元一次不定方程 例3：证明：二元一次不定方程ax ? by = N，a 0，b 0，(a, b) = 1的非负整数解的个数为 ? 1。 证明：二元一次不定方程ax ? by = N的一切整数解为 ，t?Z，于是由x ? 0，y ? 0得 ，但区间的长度是 ，故此区间内的整数个数为 ? 1。 第一节 二元一次不定方程 例4：证明：二元一次不定方程 ax ? by =N (a