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§5.2 区间估计 引例 已知某种材料的抗压强度 现随机抽取10个试件进行抗压试验，测得数据 如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,469. 求该种材料的平均抗压强度的矩估计. 参数的真值 [ ] 问题： 与 的误差是多少？ 我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度确信它包含了参数θ真值. 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作1-α ，这里α 是一个很小的正数，通常取α=0.05，0.1， 即置信水平为0.95，0.9 . 一. 置信区间定义 分别称为置信下限和置信上限. 满足 设θ是 一个待估参数，给定α 0, 若由 样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 , 则称区间 是θ的置信区间, 置信水平(置信度)为1-α. (2)所作估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 尽可能短. (1)要求 以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大. 即要求估计区间尽量可靠. 置信区间有两个要求: 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度. 二、置信区间的求法 确定区间的上下限 例1 已知某种材料的抗压强度 现随机抽取10个试件进行抗压试验，测得数据 如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,469. 求该种材料的平均抗压强度的0.95置信区间. ~N(0, 1) 求参数 的置信度为 的置信区间. 例1* 设X1,…Xn是取自 的样本， 解：1. 寻找一个含待估参数与 其估计量的枢轴量，要求 其分布为已知. 2.对给定的置信水平 查表得正态分布的分位数 即有 3.求得μ的 置信区间为 由题意得: 查表得 u0.025=1.96, 计算得 438.906, 476.054, 所求置信区间为 (438.906，476.054) 例1 解: 由题意知这是方差已知的总体均值的区间估计， 置信区间为 ~N(0, 1) 我们得到 均值 的置信水平为0.95的 置信区间为 在例1*中，设置信水平1-α=0.95， 需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间是不唯一的. 根据置信区间“小而精”的原则，通常取概率“对称区间”.这与标准正态分布和 t分布本身的对称性正好吻合. 这个区间比前面一个要长一些. 也可以确定所求置信区间为 求置信区间的一般步骤如下: 明确在什么条件下，求什么参数的置信 区间? 置信水平1-α是多少? 2. 寻找一个含有待估参数 及其点估计量 g 的枢轴量h(g, )，并且已知概率分布. 3. 对于给定的置信水平1-α，根据h(g,θ) 的分布，确定分位数a, b(概率对称) ,使得 P(a ≤h(g,θ)≤b)=1-α 4. 对“a≤h(g,θ)≤b”作等价变形,得到: 二、置信区间的求法 ———枢轴量法