两角和与差的正弦余弦正切的应用之角的转化.docVIP

两角和与差的正弦、余弦、正切的应用 ----角的转化--- 2005 .3.16 1师：拿到题目有没有思路？ 师：题中既有sin，又有sin与cos的乘积的形式，且出现了3个角度，角度不同不便于进行计算，能不能把出现的角度个数变少？该怎么变少？那我们来观察一下这三个角度之间有什么关系？ 生：。 师：要把角度个数变少，你打算如何代换角度，把哪个角换掉？ 生：把 换成。 师：好，我们来一起尝试一下，将展开，再与相乘，得到三个三角函数式的乘积相减，并与相加。一个三角函数式与三个三角函数式的乘积相减，这样不好运算。还可以怎么代换？ 生：把换成。 师：对于该类题型,我们可以把其中角的转化归结为。 2师：第2小题的这一式子中出现了那些角度？ 生：。 师：对于题中出现了多个角度，首先我们要把多个角度化少。这里的和要怎么转化呢？ 生：把化为。 师：我们把转化为展开后，的正弦、余弦用特殊值代换，题中便只剩关于的正弦、余弦的运算。还可以怎么化呢？ 生：把转化为。 师：这里这两种方法都可以进行。其中，把转化为要代换到几个角？ 生：两个角。 师：把化为只需代换几个角？ 生：一个角。 师：这两种方法都可以把原式从多个角化少，再进一步化简运算就可以达到求值的目的。对于角的转化可以针对题目进行灵活运用。这一小题和上一小题类似，同样可以归结为的形式，通过角的转化把多个角化少，从而得到解决。 师：题目中出现了哪几个角？ 生：。 师：题目要求的是,其中可以怎么转化？ 生：。 师：通过角的转化，，展开后得到，已知，及的范围，能不能算出来？ 生：能。 师：现在把题目改一下，变为求的话，可以怎么转化？ 生：。 师：我们把这两种类型的角的转化归纳一下，即,. 3.化简： 师：题中出现了哪几个角？ 生：。 师：正弦函数后括号中的一个整体称为一个角，题目中共有几个角？ 生：4个。 师：它们分别是哪些角？ 生：。 师：遇到多个角，我们先要把多个角化少，要化哪几个角？怎么化？ 生：把转化为。 师：把转化为，展开后第一项为，刚好与原式的第一项相同。题目中还有三个角，还需怎么转化呢？ 生：把转化为。 师：通过对角，的转化，把题目中的角的个数减少，转化为关于与的正弦与余弦的运算。再进一步把角的个数减少，原式可以得到进一步的化简。 4.已知：，求证： 师：题中的已知给出了正弦之间的关系，要求证的是正切之间的关系，且出现了4个不同的角度。如何对角进行转化，可以把已知角和未知角联系起来，把已知条件用上？ 生：。 师：可以怎么转化呢？ 生：。 师：将转化成，把转化成，利用公式展开后，可以得到有关与的正弦、余弦的运算。通过进一步的转化，即可得所要求证的。 师：在做三角的证明题时，首先要分析角，观察已知角与未知角之间的关系，适当进行角的转化，利用已知的条件推出求证的结论。 5.求证： 师：观察要证的这个式子，它有什么特点呢？它的左式是关于哪些三角函数的运算？ 生：关于x,y 的正切的运算。 师：它得右式是关于什么的运算？ 生：关于复角x+y,x-y的正弦的运算。 师：你打算从哪一边入手证明呢？ 生：从左到右。 师：左式为关于正切的运算，右式为关于正弦的运算，要从左式化到右式，第一步首先要？ 生：把切化为弦。 师：然后呢？ 生：分子、分母同乘，最后利用公式逆用把单角合为复角。 师：还有其它方法吗？ 生：从右到左。 师：从右到左要怎么化？ 生：利用公式展开，把复角化为单角。分子、分母同除以，化简即得左式。 师：对，求证本恒等式时，根据题目的特点：左式为关于正切的运算，右式为关于正弦的运算，我们可以从函数名称来分析，可以考虑从左到右采用“切割化弦法”。我们还可以从角入手来分析，左式都是单角，右式都是复角，从而可以考虑把复角变为单角。 师：好！那我们一起来小结一下这节所学的内容：求值、化简、求证恒等式时，根据题目的特点，我们可以从函数名称来分析，采用“切割化弦法”。我们也可以从角入手来分析，考虑复角与单角之间的互化，还要熟悉角与角的变换（如，，）把已知角和未知角联系起来，充分利用已知条件进行解题。 。