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251微分及其在近似值计算中的应用
安康职业技术学院课时授课计划(教案首页)
授课顺序 总第十二讲 班 级 14级高职会计班 授课教师 郭必军 课 题 第二章导数与微分
第二节微分及其在近似值计算中的应用 学时 2 节 课程目标 教学目标:1. 微分的概念及其求法
2. 如何用微分计算近似
能力目标:
复合函数如何求导
情感目标:
能积极地参与数学教学活动,对数学有好奇心和求知欲 达标过程与教学环节 一、导入新课
二、讲授
三、例题讲解
四、课堂练习
五、板书设计(略)
六、作业 授课方式 启发引导式、讨论实训相结合,讲练结合,教学做一体 教 具 教研室签字 系主任签字 课时目标形成性测试 评估与反馈 备注
安康职业技术学院教案续页
教学过程:
导入;
?? 一块正方形金属薄片受温度变化的影响时,其边长由x0变到了x0+△x,则此薄片的面积改变了多少??
设此薄片的边长为x,面积为A,则A是x的函数:A=x2 薄片受温度变化的影响面积的改变量,可以看成是当自变量x从x0取的增量(x时,函数A相应的增量(A,
(A=(x0+(x)2-x02= 2x0(x+((x)2
从上式我们可以看出,△A分成两部分,第一部分2x0(x是(x的线性函数,即下图中红色部分;
?? 第二部分((x)2即图中的黑色部分????????????????????????????
一、微分定义
1.微分的概念
定义 设函数y=f(x)在点x0处可导并取得改变量(x,则称(x为函数y=f(x)在点x0处的微分,记作
即= (x。
2.当f(x)=x时,dx= (x=(x。
3. (y(dy
例1 求函数y=x2在x=1,(x=0.01时的改变量及微分。
例2 已知y=ln(1+x),求dy,。
注意:不能将dx中的字母x也用3来代替。
二、微分的几何意义
(x的几何意义:在x0点处,当自变量取得改变量(x时,曲线y=f(x)在该点处的切线之纵坐标的改变量。
三、微分的运算
1.微分的四则运算法则
设函数u=u(x),v=v(x)在点x处可微,则
(1) d(u(v) = du(dv
(2) d(uv)=vdu+udv
(3)
例3 求y=的微分dy。
2.复合函数的微分法则
设函数y=f(u),u=((x)均可微,则y=f(((x))也可微,且
dy=。
由于du=,所以上式可写为
dy=
从形式上看,它与y=f(x)的微分dy=形式一样,这叫一阶微分形式不变性。其意义是:不管u是自变量还是中间变量,函数y=f(u)的微分形式总是dy=。利用一阶微分形式不变性可简化微分的有关运算。
例4 设y=,求dy。
例5 设y是由方程所确定的隐函数,求dy。
例6 填空:
(1) d( )=cos2xdx (2) d( )=adx (3) d( )=xdx
(4) d( )= (5) d( )= (6) d( )=
四、微分在近似计算中的应用
如果函数y=f(x)在点x0处可导,且当|(x|很小时,有
(y(dy
因此有
(1) (y (
令x0+(x=x,则有
(2)
特别地,当x0=0时,x=(x,且|x|很小时,(2)式即为
(3)
即
由(3)可推出下列常用近似计算公式
3.
4.
5.。
例7 一种金属圆片,半径为20厘米。加热后其半径增大了0.05厘米。求该金属圆片的面积增大了多少。
例8 求的近似值。
例9 求的近似值。
例10 求的近似值。
知识小结: 微分的概念及其求法,违法在近似计算中的应用
练习: 同步练习题
作业:习题2-2
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