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新欧拉Euler公式 也就是求压屈荷载（或临界荷载）的公式 张兴武 官燕玲 江超 张宇昊（长安大学，西安 710061） 提 要 现在所用的欧拉公式：代表柔性杆件受所谓的轴压荷载的临界荷载（或压屈荷载）计算式 加尔曼Karan用纵向弯曲理论证明是有效的,(未提及失稳问题) 又说临界荷载 是由稳定理论分析所决定的,是否实测是得不到的疑问? 梅村魁(日本)指出用液压系统的试验设备是测不出临界荷载 (压屈荷载) 铁木森珂Timoshenko:提出欧拉公式算出的结果与实际对比误差很大。原因是欧 拉公式是以小挠度理论为据的关系. 如此，促使我们用大挠度理论求较好临界荷载 大挠度理论的求压屈荷载计算公式的理念清楚，公式简捷 用改进简单机械装置,完全测出了较为真切的压屈荷载--临界荷载: 新欧拉公式是 ----两端铰支杆件, 一端固定它端自由杆件 小挠度理论的欧拉压屈荷载：两端铰接柱的压屈荷载是 欧拉公式- -欧拉力 一 : 压屈荷载理论 压屈荷载（或临界荷载）理念研究是250多年前欧拉提出来的。 欧拉本人对他的计算公式的形式和内容，以及作用的说明； 欧拉指出：在柱发生压屈时的压屈荷载（或临界荷载）（Critieal losd）可由下式求得： )-两端铰支杆件 一端固定它端自由杆件 他又说：（除非）荷载p是小于，绝对用不着担心弯曲发生：反之，如果P的重量大于此值，柱子就不能抵抗弯曲。当柱子的弹性保持不变，其厚度也同样保持不变时，它的安全承载的重量为P。这就是欧拉建立柱的压屈公式的理念,并有如上的说明。（材料力学史） 后来纳维Navier用抗弯刚度（EJ）代以C，完成了弹性杆件的稳定的计算公式（Ⅰ）：( ，并(仍然)命之为Euler公式。 人们认为这是经验公式。 ⒈ 旧Euler公式的诱导 如右图 1所示 若荷载P小于它的临界值,此杆将保持 直的只承受轴向压力,这是弹性平衡 是稳定的,如果有一横向力作用于杆时 将有小的挠曲,当除去横向力后, 挠度 就消失,杆变成直的,增加P 将有这样 情况,柱的平衡位位置变为不稳定了 一个很小的横向力可能产生横向弯曲 ,而横向力除去时挠曲没有消失,于是 足使杆保持一微小的弯曲形状的荷载, 是为这个杆的临界荷载如图 所示。 这是 Timoshenko书刊出的 运用挠曲的微分方程 ,於是挠曲曲线微分方程为 设 则 此方程的通解为 式中的A, B为积分常数 以符合固定端的条件: 符合此条件: 如果 於是 杆顶端的条件要求 如果条件符合: 必须是: 表示杆的顶端没有挠度,或者说 n为任意整数, 为一个未定的量 因为 kl的最小值,对应 P的最小值, 所以取n=0 于是方程式 （下为固定端，上端为自由） 此是小挠度理论的压屈荷载。（或临界荷载）（Critieal load） 它的不足之处，是把柱曲线定为二次曲线，近视为圆弧， 新Euler公式的诱导 -(两端铰支杆件) 图1，a)所示：是一个下端固定上端自由的杆件，自由端上受有偏心为e 垂直荷载N。一般在解算时，可将图1，a)看成是在自由端B上作用 一个 N e=M的弯矩，如b)所示，和一个垂直荷载N作用在自由端B上，如c)所示,两部分。从图形所示看出，横向位移是由弯矩作用所产生的。 图1 Ne=M的弯矩作用在b)时，在自由端B将产生横向位移 如图d)所示，B将移至B‘，位移。也应注意到垂直荷载N随之到了B‘，如图e) 所示。此时在自由端所产生弯矩M1=M+dM1 =N（ e +）。如图f) 所示，产生了附加位移。如此反复继续直到收敛为止。最后形成如下： 图2 图2所示半径为 的曲线段为AB‘‘’=l，对顶角为φ的扁形。 自由端B的力矩为m0，B的横向位移为AA‘，求精确解的依据为 受荷之后悬臂梁将弯成半径为ρ的曲线，曲线两端与弧心连线其夹角B端的位移 f=AC-A‘C=ρ(1-cosφ） 将cosφ展成级数 cosφ=1-φ2/2！+φ4/4！-------------- f=ρ（φ2/2！-φ4/4！--------------） f =l/φ（φ2/2！-φ4/4！--------------） f =l(φ/2!-φ3/4!+-------------------) f=l[1/2（m0l/EJ）-1/24（m0l/EJ）3+----] f (位移)