三角形全等之截长补短(整理)总汇.doc

三角形全等之截长补短（讲义） 一、知识点睛 截长补短： 题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________． 二、精讲精练 已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C． 求证：AC=AB+BD． 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD． 求证：CD=AD+BC． 已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB， ∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF． 求证：EF=BF+DE． 已知：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O． 求证：AC=AE+CD． 已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E． 求证：CE?BD． 【参考答案】 【知识点睛】 线段间的和差倍分； 把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系． 【精讲精练】 补短法： 证明：如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE． ∵∠ABD是△BDE的一个外角 ∴∠ABD=∠E＋∠BDE ∵BE=BD ∴∠E=∠BDE ∴∠ABD=2∠E ∵∠ABD=2∠C ∴∠E=∠C 在△ADE和△ADC中 ∴△ADE≌△ADC（AAS） ∴AE=AC ∴AC=AB＋BE =AB＋BD　 截长法： 证明：如图，在AC上截取AF=AB，连接DF． 在△ABD和△AFD中 ∴△ABD≌△AFD（SAS） ∴∠B=∠AFD，BD=FD ∵∠B=2∠C ∴∠AFD=2∠C ∵∠AFD是△DFC的一个外角 ∴∠AFD=∠C +∠FDC ∴∠FDC=∠C ∴DF=FC ∴BD=FC ∴AC=AF+FC =AB+BD 证明：如图，在CD上截取CF=CB． ∵CE平分∠CBD ∴∠1=∠2 在△CFE和△CBE中 ∴△CFE≌△CBE（SAS） ∴∠CFE=∠B ∵∠B=90° ∴∠CFE=∠DFE =90° ∵∠A=90° ∴∠DFE=∠A ∵DE平分∠ADC ∴∠3=∠4 在△DEF和△DEA中 ∴△DEF≌△DEA（AAS） ∴DF=AD ∴CD=DF+CF =AD+BC 证明：如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG． ∵∠D=∠ABC=90° ∴∠ABG=∠D=90° 在△ABG和△ADE中 ∴△ABG≌△ADE（SAS） ∴AG=AE，∠1=∠2 ∵∠BAD=90°，∠EAF=45° ∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° 即∠GAF=45° ∴∠GAF=∠EAF 在△AGF和△AEF中 ∴△AGF≌△AEF（SAS） ∴GF=EF ∵GF=BF+BG ∴EF=BF+DE 证明：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD，CE为△ABC的角平分线 ∴∠1=∠2，∠3=∠4 在△AEO和△AFO中 ∴△AEO≌△AFO（SAS） ∴∠5=∠6 ∵∠ABC=60° ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180??∠B =180??60? =120? ∴∠2+∠3=60? ∴∠AOC=180°?60? =120° ∴∠5=∠6=∠7=∠8=60° 在△OFC和△ODC中 ∴△OFC≌△ODC（ASA） ∴CF=CD ∴AC=AF+FC =AE+CD 证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点F． ∵CE⊥BD ∴∠BEF=∠BEC=90° ∵∠BAC=90° ∴∠CAF=∠BAD=90° ∵∠3=∠4 ∴∠1=∠5 在△BAD和△CAF中 ∴△BAD≌△CAF（ASA） ∴BD=CF ∵BE平分∠ABC ∴∠1=∠2 在△BEF和△BEC中 ∴△BEF≌△BEC（ASA） ∴EF=EC ∴CE=CF ∴CE=BD 三角形全等之截长补短每日一题 （4月28日）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C． 求证：CD=AB+BD． （4月29日