实验六方程求解-副本总汇.doc

数学与统计学院 数 学 实 验 报 告 姓 名：苟于翠 专 业：信息与计算科学 学 号：201370020107 实验六 方程求解 实验目的 用迭代法求解方程及线性方程组 实验环境 Mathematica5.0系统 实验的基本理论与方法 1、方程求根 给定实数域上光滑的实值函数f(x)以及初值定义数列 n=0,1… （1） 称为f（x）的一个迭代序列。 给定迭代函数f(x)以及一个初值利用（1）迭代得到数列如果数列收敛于一个，则有 . （2） 即是方程x=f(x)的解。由此启发我们用如下的方法球方程g(x)=0的近似解。 将方程g(x)=0改写为等价的方程 x=f(x), （3） 然后选取一初值利用（1）做迭代。迭代数列收敛的极限就是方程g(x)=0的解。 为了使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程g(x)=0的某一解的条件是迭代函数f(x)在解的附近的导数将的绝对值尽量小，因此迭代方程修订成 (4) 选取使得在解的附近尽量小.。为此，我们可以令 得 . 于是 . 特别地,如果取f(x)=g(x)+x, 则可得到迭代公式 (5) 2、线性方程组的迭代求解 给定一个n元线性方程组 （6） 或写成距阵的形式Ax=b, （7） 其中是n阶方程， 及均为n维列向量。熟知，当距阵A的行列式非零时方程（7）有唯一的解。迭代法是求解这些问题的有效方法之一。用迭代的方法求解线性方程组的思想与上节介绍的方程求解的方法是类似的。假设我们可以将方程组（7）改写成 x=Mx+f (8) 其中是n 阶距阵，是n维列向量。任意给定初始向量，由迭代 （9） 确定向量序列 如果收敛到向量，则有 即是方程组（7）的解。 假设矩阵A的对角元素，i=1，2，3，……n。令，则我们可以将方程（7）改写成 或 （10） 由上式即可确定一种迭代格式。 如果即将矩阵分解为U+L，其中L,U分别为下三角阵与上三角阵，则（10）可以进一步改成 或 （11） 上式又可确定另一种迭代格式。 3、非线性方程组的迭代求解理论 类似于单变量的方程组及线性方程组的求解，用迭代方法可以求更加复杂的非线性方程组的解， 给定非线性方程组 (12) 将它改写为等价的方程组 或 (13) 其中，x为n维列向量, 为n维列向量函数，由上式即确定了一种迭代格式 . 由于非线性方程组可能有许多解（甚至有无穷多个解），因此对它的求借比线性方程组的求解要面临更多的挑战。 实验的内容与步骤 迭代序列是否收敛？ 练习1 设利用（1）做迭代得到序列 （1）写出序列的通项公式为： （2）在什么条件下，迭代（1）对任意的初值都收敛？ 答：据几何级数的收敛性，当 时，迭代（1）对任意的初值都收敛。 （3）影响收敛性的主要量是什么？它与的一阶导数有什么关系？常数对迭代的收敛性有没有影响？收敛速度的快慢由什么量决定？ 答：影响收敛性的主要量是a,它即为的一阶导数，常数b对迭代的收敛性没有影响，收敛速度的快慢由a和b共同决定。 （4）对于任意给定的线性方程，你是否可以将它改写成等价的形式使得迭代总是收敛？ 答：对于任意给定的线性方程，我们总可以将它改写成