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“名称互余角互余”在高中数学教学中的趣用 　　初中“解直角三角形”教学中，间接介绍了一组三角诱导公式：在Rt△ABC中，A+B=90°，则sinA=cosB， cosA=sinB， tanA=cotB， cotA=tanB.用文字表述为“名称互余角互余”. 　　到了高中阶段，随着角的范围扩大至全体实数，该诱导公式也仍然成立.虽然有了新的解释、证明与记忆方法，但仍可用“名称互余角互余”来记忆.这一记忆方法只要验证了两个角（各自在实数范围内取值，不一定是锐角）的和是90°（即）后，即在“角互余”及三角函数“名称互余”的前提下，这两个三角函数值相等.这一记忆方法缩略了应用公式前的一步――等量代换，而这一步“等量代换”在教学中，让很多初学诱导公式的学生望而却步. 　　以下略举几例该诱导公式在高中教学中的趣用. 　　【例1】化简sin（π-α）+cos（π-α），其中n∈Z. 　　【分析】原式=sin（nπ--α）+cos（nπ+-α）， 　　常规思路：分n为奇数、偶数分别讨论均可得：原式=0. 　　也可这么来观察，（-nπ++α）+（nπ+-α）=，于是，应用“名称互余角互余”的解法为： 　　因为sin（-nπ++α）=cos（nπ+-α）， 　　所以，原式=-sin（-nπ++α）+cos（nπ+-α） 　　=-cos（nπ+-α）+cos（nπ+-α）=0. 　　【例2】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）. 　　A.3α-β=π B.2α-β=π 　　C.3α+β=π D.2α+β=π 　　【略解】tanα===cot， 　　又由已知可得α∈（0，），∈（0，），-∈（，），所以，α+=，故选D. 　　【例3】函数y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x）的最大值为 ，最小值为 . 　　【分析】常规思路之一：用两角和与差的正、余弦公式打开得y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x） 　　=3sinxcos10°+3cosxsin10°+5sin80°cosx-5cos80°sinx 　　=3sinxcos10°+3cosxsin10°+5cos10°cosx-5sin10°sinx 　　=sinx（3cos10°-5sin10°）+cosx（3sin10°+5cos10°） 　　=sin（x+ψ） 　　=sin（x+ψ） （其中，ψ为辅助角，tanψ=）. 　　也可这么来观察，（x+10°）+（80°-x）=90°，于是，应用“名称互余角互余”的解法如下： 　　5sin（80°-x）=5cos（x+10°）， 　　y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x） 　　=3sin（x+10°）+5cos（x+10°） 　　=sin（x+10°+ψ）（其中，ψ为辅助角，tanψ=，ψ为第一象限角）. 　　故最大值为，最小值为-. 　　【例4】已知函数f（x）=2sin（2x+）+cos（2x-）. 　　（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间； 　　（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值. 　　【分析】常规思路：同上例，需将sin（2x+）及cos（2x-）分别根据两角和的正弦及两角差的余弦公式展开、合并同类项后，再用辅助角公式，最终化为3sin（2x+）的形式，问题得解. 　　也可这么来观察，（2x+）+（-2x）=，于是，应用“名称互余角互余”的解法如下： 　　f（x）=2sin（2x+）+cos（-2x）=2sin（2x+）+sin（+2x）=3sin（2x+） 　　（Ⅰ）最小正周期T=π，递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）. 　　（Ⅱ）函数f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值分别为-，3. 　　【例5】已知sin（-α）=，则cos（+2α）的值为（ ）. 　　A. B.- C. D.- 　　【分析】本题将+2α看成 2（+α），而（+α）+（-α）=，于是，应用“名称互余角互余”的解法如下： 　　【解】由已知可得sin（-α）=cos（+α）=，所以，cos（+2α）=2cos2（+α）-1=-. 故选D. 　　以下为练习，供读者参考. 　　【作业1】化简sin（π-α）-cos（π-α），其中n∈Z. 　　【作业2】计算sin（x-）+cos（x+）= . 　　【作业3】已知sin（α-）=，则cos（α+）的值为 . 　　【作业4】已知sin（α-）=，则cos（α+）的值为（ ）. 　　A. B.- C. D.- 　　【作业5】若α是第三象限角，且cos（75°+α）=，则cos（15°-α）+sin（α-15°）的值为 . 　　【作业6】已知sin（-x）=，则