第五节各种积分之间的联系技术分析.ppt

第五节 各种积分之间的联系 一、格林公式 格林公式 简单应用 例10. 三、 斯托克斯( Stokes ) 公式 例11. 利用斯托克斯公式计算积分 例12. ? 为柱面 解 空间曲面在 面上的投影域为 曲面?不是封闭曲面, 为利用高斯公式 根据对称性可知 故所求积分为 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理. 设光滑曲面 ? 的边界 ?是分段光滑曲线, (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数, ? 的 侧与 ? 的正向符合右手法则, 在包含? 在内的一 证: 情形1 ? 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 为确定起见, 不妨设? 取上侧 (如图). 则有 简介 目录 上页 下页 返回 结束 则 (利用格林公式) 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 因此 同理可证 三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 情形2 曲面? 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 ? 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果 ? 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 或用第一类曲面积分表示: 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 其中?为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 解: 记三角形域为?, 取上侧, 则 边界, 方向如图所示. 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 二、高斯公式 三、斯托克斯公式 一、格林公式 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 定理1 (1) 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 证明(1) y x o a b D c d A B C E 同理可证 y x o a b D c d A B C E 两式相加得 证明(2) D G D F C E A B 证明(3) 由(2)知 解 解 x y o L y x o x y o (注意格林公式的条件) x y o L 1. 简化曲线积分 A B ? 2. 简化二重积分 x y o 3. 计算平面面积 解 二、高 斯 公 式 证明 根据三重积分的计算法 根据曲面积分的计算法 同理 ------------------高斯公式 和并以上三式得： Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式： 解