不等式与推理证明重点直击.docVIP

不等式与推理证明重点直击 　　在高考中，不等式与推理证明是密不可分的，前者考查知识点，后者考查方法的灵活应用.不等式与推理证明内容丰富，涉及考题变化万千.在复习这一内容时，只有抓住重点方可事半功倍，以下重点内容值得同学们特别关注. 　　一、一元二次不等式恒成立问题 　　要点解析 　　一元二次不等式恒成立的条件： 　　（1）不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立a=b=0，c0，或a0，Δ0. 　　（2）不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立a=b=0，c0，或a0，Δ0. 　　一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围. 　　题型分析 　　1.形如f（x）≥0（x∈R）确定参数的范围 　　例1已知不等式mx2-2x-m+10，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 　　解析：不等式mx2-2x-m+10恒成立， 　　即函数f（x）=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方. 　　当m=0时，1-2x12，不满足题意； 　　当m≠0时，函数f（x）=mx2-2x-m+1为二次函数， 　　需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解， 　　即m0，Δ=4-4m（1-m）0， 　　不等式组的解集为空集，即m无解. 　　综上可知不存在这样的m. 　　2.形如f（x）≥0（x∈[a，b]）确定参数范围 　　例2设函数f（x）=mx2-mx-1（m≠0），若对于x∈[1，3]，f（x）-m+5恒成立，求m的取值范围. 　　解析：要使f（x）-m+5在[1，3]上恒成立， 　　则mx2-mx+m-60，即m（x-12）2+34m-60在x∈[1，3]上恒成立. 　　有以下两种方法： 　　法一：令g（x）=m（x-12）2+34m-6，x∈[1，3]. 　　当m0时，g（x）在[1，3]上是增函数， 　　所以g（x）max=g（3）=7m-60.所以m67，则0m67. 　　当m0时，g（x）在[1，3]上是减函数， 　　所以g（x）max=g（1）=m-60. 　　所以m6.所以m0. 　　综上所述，m的取值范围是（-∞，0）∪（0，67）. 　　法二：因为x2-x+1=（x-12）2+340， 　　又因为m（x2-x+1）-60， 　　所以m6x2-x+1. 　　因为函数y=6x2-x+1=6（x-12）2+34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m67即可. 　　因为m≠0，所以m的取值范围是（-∞，0）∪（0，67）. 　　3.形如f（x）≥0（参数m∈[a，b]）确定x的范围 　　例3对任意m∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（m-4）x+4-2m的值恒大于零，求x的取值范围. 　　解析：由f（x）=x2+（m-4）x+4-2m 　　=（x-2）m+x2-4x+4， 　　令g（m）=（x-2）m+x2-4x+4. 　　由题意知在[-1，1]上，g（m）的值恒大于零， 　　∴g（-1）=（x-2）×（-1）+x2-4x+40，g（1）=（x-2）+x2-4x+40， 　　解得x3. 　　故当x3时，对任意的m∈[-1，1]，函数f（x）的值恒大于零. 　　类题通法： 　　（1）解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 　　（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方. 　　二、线性规划问题 　　要点解析 　　求目标函数的最值要明确几个概念： 　　（1）约束条件：由变量x，y组成的不等式（组）； 　　（2）线性约束条件：由关于x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式（组）； 　　（3）目标函数：关于x，y的函数解析式，如z=2x+3y等； 　　（4）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）； 　　（5）最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 　　线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致. 　　题型分析 　　1.求线性目标函数的最值 　　例4设x，y满足约束条件x+y-7≤0，x-3y+1≤0，3x-y-5≥0，则z=2x-y的最大值为.