《等差数列》教学设计（张晓斌）.doc

等差数列第一课时教学设计 重庆市教育科学研究院　张晓斌 教学过程 1.创设情境，直奔课题 ①德国数学家高斯八岁时计算1+2+3+…+100＝？时，所用到的数列：1，2，3，4，…，100。 ②姚明刚进NBA一周里每天训练发球的个数依次是：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000。 ③匡威运动女鞋的尺码（鞋底长，单位是cm）：。 引导学生观察：上面的数列①、②、③有什么共同特点？ 学生容易发现这些数列有一个共同特点：从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，我们把具有这一特点的数列叫做等差数列（此时写出课题）。 2.阐述定义，理解内涵 在前面的基础上得出等差数列的定义： 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母来表示。 你觉得在理解等差数列的定义时应注意什么？启发学生回答： ①“从第二项起”（这是为了保证“每一项”都有“前一项”）； ②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为“同一个常数”体现了等差数列的基本特征）； 然后在理解概念的基础上，引导学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出一串数学表达式，即，这其中最能刻划等差数列的本质特征的是哪一个等式？ （是常数，）或（是常数，且）。 通过下面三个问题从正反两方面加深对概念的理解： 9 ，8，7，6，5，4，……是等差数列吗？（递减等差数列） ②常数列3，3，…，3，…是等差数列吗？（常数列） ③数列1，4，7，11，15，19是等差数列吗？（非等差数列） 由此三个问题和前面的问题让学生发现：公差可以是正数、负数，也可以是0；当时，等差数列是递增数列；当时，等差数列是递减数列；当时，等差数列是常数列. ④若数列满足：（是常数，且），则数列是等差数列吗？ 3.探究交流，发现公式 如果等差数列首项是，公差是，那么这个等差数列如何表示？呢？ 根据等差数列的定义，不难由学生完成： 因为，，，……。 所以， ， ， …………………………………………………………… 由此完成填空，得……(＊)，这是等差数列的通项公式吗？（让学生回答） 当时，对(＊)式两边均为，即等式也成立，说明(＊)式对都成立，因此等差数列的通项公式就是：，。 上面求通项公式的过程是迭代的过程，所用的方法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，因此我们有必要寻求更为严密的推导方法。 根据等差数列的定义，引导学生探究发现： …………… 将以上个式子相加得。这种求通项公式的方法叫叠加法，这是一种严密的科学证明方法。 然后再引导学生对此公式进行理解：通项公式含有这4个量，已知三个量，就可以求出第4个量，即“知三可求一”，这样通项公式就是方程，从中让学生体会方程思想的运用。 4.运用新知，解决问题 例１已知等差数列18，15，12，9，……。 （1）请写出； （2）－279是否是这个数列中的项，如果是，是第几项？ 说明：要判断-279是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数，使得成立，实质上是要求方程的正整数解。 例2已知等差数列中，，求的值。解略。（） 解方程组比较麻烦，可否避免？让学生发现：。这是一种巧合，还是对任意的两项差都满足？提出 探究活动一：请同学们思考：在公差为的等差数列中，与有何关系？ 由和易得（证实并非巧合），从而也有。 让学生比较与发现，前式是后式的特例，后式是前式的推广。为此我们不妨把叫做等差数列的变通式。让学生用变通式再解例2。 探究活动二：通过例2发现：5，15，25成等差， 也成等差；在等差数列中，…成等差数列，那么 …成等差数列吗？（让学生课后思考） 探究活动三： 由等差数列通项公式得（是常数），当的时候，通项公式是关于的一次式，一次项的系数是公差。等差数列通项可以写成形式；反之，如果数列的通项公式为（其中、是常数），那么这个数列是等差数列吗？ 判定数列是不是等差数列，也就是要看的差是不是与无关的常数。这由等差数列的定义可以完成证明。 由此得出：数列为等差数列的充要条件是其通项是常数。 探究活动四： （1）在直角坐标系中，画出的图象。这个图象有什么特点？（无穷多个孤立点。） （2）在同一坐标系下，画出函数的图象。你发现了什么？ （的图象是直线上均匀排开的无穷多个孤立点。） （3）等差数列与函数图象间有什么关系？ （的图象是直线 上均匀排开的无穷多个孤立点。） 5.归纳小结，提炼精华 一个定义： 是常数）。 两个公式：，。 三种思想：特殊与一般思想、方程与函数的思想、数形结合的思想。 三种方法：不完全归纳法、迭代法、叠加法。 6.课后作业，运用巩固 必做题：课本P114 习题3.2第1，2，6 题。 备选题：1.在等差数列中，已知，是第一个大于1的项，求公差