第三章-晶体结合技术分析.ppt

* （c）计及最近邻，次近邻和第三近邻 可以看到A12收敛得很快，而A6收敛得较慢，当以上求和取到三项后，A12已经得到相当一致得结果。通常所采用的fcc点阵和数值是 * [例3] 体心立方氪 如果惰性气体晶体氪结晶为体心立方结构，已知氪的勒纳－琼斯参数ε＝0.0140eV，σ＝0.365nm，试计算 （a）平衡时的最近邻距离 及点阵常数 ； （b）每个原子的内聚能 （以eＶ计算）； （c）平衡时的体弹性模量 B0（以dyn·cm-2计算）。 已知体心立方结构的点阵和为 * [解] 由例题1可知，由N个氪原子组成的惰性气体晶体总的势能为 平均每个原子的势能为 式中 r 是原子的最近邻距离，A12，A6是体心立方结构的点阵和，A6＝12.25，A12＝9.11。 （a）零压力平衡态下的最近邻距离 r0 可以由 求出 * 解得 将体心立方结构的点阵和A6，A12代入得 将氪的σ＝0.365nm 代入，就得到平衡时惰性气体晶体氪的最近邻距离。 对体心立方结构，点阵常数 与最近邻距离 r0 的关系是 * 将上面解得的 r0 代入，得到惰性气体晶体氪的点阵常数是 （b）将式（2）代入式（1），得到每个原子的内聚能 将体心立方结构的点阵和A6，A12代入，得到体心立方结构惰性气体晶体每个原子的内聚能为 * 将氪的ε＝0.014eV代入上式，得惰性气体晶体氪每个原子得内聚能为 （c） 是每个原子所占的体积，对于bcc结构每个立方惯用晶胞含有2个原子，所以每个原子所占体积为 由 得 于是有 * 故 利用 ，得到 将 ， 代入，得 B0＝3.23×1010dyn·cm-2 B0＝3.32×101Pa (SI) σ＝3.65 * [例4] 离子晶体 对于离子晶体，我们假设两个相距 r 的离子间的相互作用能为 对于同类离子取正号，异类离子取负号。式中的λ,ρ是两个经验参数，用来描写短程排斥作用的强度和作用范围。试导出离子晶体内聚能的表达式。 [解] 由式（1）知，离子晶体第i个离子和第j个离子间的相互作用能为 第i个离子与其他所有离子间的相互作用能为 * 求和遍及所有 的离子，同类离子取正号，异类离子取负号。 略去表面效应，由N对正、负离子组成的离子晶体总的能量为 为了方便起见，我们引入 ，使 ，其中 r 是离子晶体中两离子间的最近邻距离。如果只计及最近邻离子间的短程排斥作用，而将相距远的离子间的短程排斥作用略去，则 （最近邻） （最近邻以外） * 于是得到 式中Z是最近邻离子数，α是离子晶体的马德隆常数， 求和对同类离子取负号，对异类离子取正号。在平衡情况下， * 由此得到T=0K零压力平衡态下的最近邻距离r0由下式 决定。 利用式（4）和（6），得到离子晶体的内聚能为 或写为每对离子的内聚能 式（7）中的 表示离子晶体的静电作用能，称为马德隆能。由于排斥作用ρ很小 ， ，所以，离子晶体的内聚能中90％左右是马德隆能。 * [例5] 一维离子晶体的马德隆常数 试证明由正负离子相间排列的一维离子链的马德隆常数a＝2ln2。 前面的因子 2 是因为存在着两个相等距离 Rj 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后需要乘2。马德隆常数为 [证明] 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子链，如图所示。任意选定一个负离子作为参考离子，这样，在求和中对正离子取正号，对负离子取负号。用R表示相邻离子间的距离，于是有 参考原子 + + + + + - - - - R * 利用下面的展开式 计算这个级数之和。令x＝1，则有 于是一维离子链的马德隆常数为 a ＝ 2ln2 * 式中a是离子晶体的马德隆常数。由上式可以解出排斥势的负幂次n， 式中 是每对离子的静电作用能， 式中 u 是每对离子的总能量，r0是平衡时的最近邻距离。证明，如果每对离子的总能量具有形式 [例6] 氯化钠结构的体弹性模量 证明具有氯化钠结构的离子晶体的体弹性模量是 则体弹性模量B0为: * [解] 氯化钠结构的布