第三章控制系统的数学模型技术分析.ppt

经典控制理论中常用的数学模型： 时域模型———微分方程 复域模型———传递函数 频域模型———频率特性 几何模型———动态结构图 其中最基本的数学模型是微分方程，最直观的数学模型是动态结构图，频率特性则是传递函数的特殊形式。 建立控制系统数学模型的方法：分析法、实验法 分析法：利用控制系统或其组成元器件所依据的物理或化学规律来建立数学 模型并经过试验验证。 实验法：通过对实际控制系统或元器件作用一定形式的输入信号，用求取控制系统或元器件的输出响应的方法来建立数学模型。 任何一个物理系统都可以用一个微分方程进行描述，控制系统也不例外。 例1：已知无源RC网络如下图，试写出它的数学模型 根据克希霍夫定律可以得到下式 消去中间变量 整理便可得： 当电阻R和电容C均为常数时，RC无源网络的数学模型为一个一阶常系数微分方程。 令RC=T 则上式可写成 式中T为RC网络的时间常数。 3.2.1 列写微分方程的一般步骤 例：电枢控制式直流电动机 1. 比例环节(Proportional Element) 输出量与输入量成比例的环节称为比例环节, 如图 所示， 其微分方程为 c(t)=Kr(t) 式中， K为比例环节的放大系数。 将式两边取拉氏变换有 C(s)=KR(s) 整理后得该环节的传递函数G(s)， 即 比例环节的输出量能立即响应输入量。 常见的比例环节，如电阻分压器、 比例运算放大器、齿轮减速器和测速发电机等，比例环节是最基本的环节。 2. 积分环节(Integral Element) 输出量与输入量对时间的积分成正比的环节称为积分环节， 如图 所示， 其微分方程为 当输入量r(t)=1(t)时， 输出量C(s)为 3. 微分环节(Derivative Element) 输出量与输入量的导数成正比的环节称为微分环节, 如图 所示， 其微分方程为 当输入量r(t)=1(t)时， 微分环节输出量C(s)为 则单位阶跃响应 4. 惯性环节(Inertial Element) 含有一个储能元件和一个耗能元件的环节， 其输出量与输入量的微分方程为 当输入量r(t)=1(t)时， 输出量C(s)为 5. 一阶微分环节(Proportional Derivetive Element) 一阶微分环节也称比例微分环节， 它是由比例环节加微分环节构成的， 它的微分方程为 当输入量r(t)=1(t)时， 即R(s)=1/s， 有输出量C(s)为 一阶微分环节的实例如下图所示。分析该环节，不难得到其传递函数为 6. 振荡环节(Oscillating Element) 振荡环节也称二阶环节，它的微分方程通常表达为 振荡环节的单位阶跃响应，随着阻尼比ζ的不同，表现出不同的动态响应过程，如图所示。 从图 中不难发现， 二阶振荡环节的单位阶跃响应曲线c(t)的振荡过程剧烈程度随阻尼比ζ值的变化而变化， ζ值越小， 振荡越强烈。 当ζ=0 时， 响应c(t)为等幅振荡过程； 当0ζ1 时， 响应c(t)为衰减振荡过程， 它是过程控制中常常采用的形式； 当ζ≥1时， 响应c(t)为单调（非振荡）上升过程， 当对被控变量要求超调量为零时， 采用此过渡过程形式, 其中, ζ=1时是临界振荡过程。 二阶环节振荡过程的实例很多。在控制系统中，若含有两种不同形式的储能元件，而这两种储能元件又能进行能量交换，就有可能出现振荡而形成振荡环节，所示的RLC串联电路。 在图所示电路中，若输入量为ur(t)=1(t)，输出量为uc(t)，则微分方程为 其传递函数G(s)为 又令2ζT=RC, 得 根据ζ的不同取值， 该二阶系统可形成如下单位阶跃响应uc(t)的过程： （1） 当ζ=0， 即R=0时， 响应uc(t)为等幅振荡过程。 （2） 当0ζ1， 即0R2 时， 响应uc(t)为衰减振荡过程。 （3） 当ζ=1， 即R=2 时， 响应uc(t)为临界振荡过程。 （4） 当ζ1， 即R2 时， 响应uc(t)为非周期（振荡）过程， 此时该二阶系统为二阶惯性环节。 3.4