第十二章数项级数技术分析.docx

第十二章 数项级数 目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法,包括比较判别法,比式判别法,根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中,我们知道：任意有限个实数相加,其结果仍是一个实数,在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 从直观上可知,其和为1. 又如, . 其和无意义； 若将其改写为： 则其和为：0； 若写为： 则和为1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和？如果存在和,和等于什么？ 定义1 给定一个数列,将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数）,其中称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：,或. 称之为级数的第个部分和,简称部分和. 定义2 若数项级数的部分和数列收敛于（即）,则称数项级数收敛 ,称为数项级数的和,记作 =. 若部分和数列发散,则称数项级数发散. 例1 试讨论等比级数（几何级数） ,的收敛性. 解： 下面分情况讨论 当 当 当 当 综上所述,几何级数在时收敛,在时发散 例2 讨论级数的收敛性. 解： 由于级数的敛散性是由它的部分和数列来确定的,因而也可以认为数项级数是数列的另一表现形式.反之,对于任意的数列,总可视其为数项级数 的部分和数列,此时数列与级数有相同的敛散性,因此,有 定理12.1（级数收敛的Cauchy准则） 级数收敛的充要条件是：对于任给正数,总存在正整数,使得当以及对任意的正整数,都有 . 注：级数发散的充要条件是：存在某个,对任何正整数N,总存在正整数 ,有 . 推论 若级数收敛,则. 注：若,则级数发散 例3 讨论调和级数 的敛散性 解：显然有,但当令 时,有 . 因此,取,对任何正整数N,只要和就有 , 故调和级数发散. 例4 应用级数收敛的柯西收敛准则,证明级数 收敛. 证明：由于 = . 故对,取,使当及对任何正整数,都有 . 故级数收敛. 收敛级数的性质 定理12.2 若级数与都有收敛,则对任意常数,级数也收敛,且. 即对于收敛级数来说,交换律和结合律成立. 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. （即级数的敛散性与级数的有限个项无关,因为级数的敛散性只与部分和数列的极限有关系,但其和是要改变的）. 若级数收敛,设其和为,则级数 也收敛,且其和为.并称为级数的第个余项（简称余项）,它代表用代替时所产生的误差. 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和. 注意：从级数加括号后的收敛,不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）. 如：收敛, 而级数是发散的. 第二节 正 项 级 数 一 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同,则称为同号级数.而对于同号级数,只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数.因负项级数同正项级数仅相差一个负号,而这并不影响其收敛性. 定理12.5 正项级数收敛部分和数列有界. 证明：由于对,,故是递增的,因此,有 收敛收敛有界. 定理12.6（比较原则） 设和均为正项级数,如果存在某个正整数,使得对,都有 （1）若,级数收敛,则级数也收敛； （2）若级数发散,则级数也发散. 例1 考察的收敛性. 解：由于当时,有 , 因正项级数收敛,故收敛. 推论（比较判别法的极限形式） 设和是两个正项级数,若 , 则 （1） 当时,级数、同时收敛或同时发散； （2）当且级数收敛时,级数也收敛； （3）当且发散时,级数也发散. 例2 讨论级数 的收敛性. 解：,级数收敛,则级数收敛 例3 级数是发散的 解：,由级数的发散性,可知级数是发散的. 二 比式判别法和根式判别法 定理12.7（达朗贝尔判别法,或称比式判别法） 设为正项级数,且存在某个正整数及常数： (i)若对,有 ,则级数收敛 ； (ii)若对,有 ,则级数发散.