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4. 双曲－抛物型方程 时间微商的差分逼近 守恒型与非守恒型 差分格式 差分格式子类 5. 说明 对流方程的差分格式 隐式与显式 6. 守恒型方程组的单步显格式 Lax格式 Lax-Wendroff格式 迎风格式 作业 * * 初条： 精确解为 初值问题 此乃线性Burgers方程，为N-S方程的模型方程 4 . 1 差分格式 1. 迎风格式 (c0) (c0) 精度： 稳定条件： 2. 蛙跳（leapfrog）格式 精度： 稳定条件： 仅对对流项 3. 时间前差，空间中心差分的显格式 精度： 稳定条件： 4. Lax-Wendroff格式 精度： 稳定条件： 5. Crank-Nicholson格式 精度： 稳定条件：恒稳 6. 全隐格式 精度： 稳定条件：恒稳 可对对流项及扩散项分别采用不同的格式 非线性Burgers方程 为N-S方程的一个较好的模型方程 对于特殊选定的初始值和边界条件，及特别的函数f，可得准确解 设 f =u2/2，定解域为 0? x ? L, t ?0, 边界值 u(0, t)=u0, u(L, t)=0 定常问题的准确解： 其中 自行尝试各种格式 上述差分方法中在对时间偏微分时，只分为 1 单步二层格式（前向差分）一阶精度 2 蛙跳格式 （中心差分）： 二阶精度 3 若维持有关欧拉格式的空间微商的差分形式不变（简记为Ld），则我们可引入龙格－库塔(Runge-Kutta)格式，其时间差分精度为4阶（只是内存占用量大） 范例 若对空间微商采用中心差分，即 则龙格－库塔格式为 稳定条件： 作为源方程的方程组可以有不同的解析形式，如欧拉形式与拉格朗日形式，守恒形式与非守恒形式，积分形式与特征形式等。不同形式的源方程在解析分析中完全等效，但在数值计算方面则不尽然。 对任一物理量U=U(x,t) ，若能写成 则称U为守恒型变量，F为其通量（密度），形如此方程者为守恒型方程 质量守恒 动量守恒 能量守恒 磁通守恒 涡旋守恒 从守恒型方程出发设计的格式具有总体守恒的特性，故称为守恒型格式，如该方程可写为 半格点值由插值得到 若体系与外界无交换，则 半格点插值公式的选取 若干子类 1. 欧拉显格式 二阶 四阶 2. 欧拉全隐格式 精度： 3. Lax格式 4. 蛙跳－梯形格式 蛙跳步 梯形步 相当于 5. Lax-Wendroff格式 (等价于半步长Lax＋半步长蛙跳) 格式4、5的时间精度均为二级。 特别是碰到激波时，守恒格式能使激波关系较为精确地满足，因此在激波的计算中应首先考虑使用守恒型格式。 耗散性和色散性对于对流方程的差分格式的稳定性具有重要的影响，而理想（磁）流体方程具有与对流方程相似的形式，同属于双曲型方程，故设计格式时须注意耗散性及色散性 在稳定条件满足的情况下，迎风格式、Lax格式及全隐格式具有一阶耗散，属强耗散格式，L-W格式具有三阶耗散，龙格库塔格式具有五阶耗散，属弱耗散格式，色散效应起主导作用。蛙跳、跳点和C-N格式的耗散余项为0，属无耗散格式，在碰到激波等强间断时，弱（无）耗散格式的色散性会导致波头振荡和计算失稳，须引入人为耗散。 隐格式稳定性好（步长仅受非线性效应及计算精度的约束），而显格式则在步长上有强约束条件，有时会使步长太短而无法实现。但对波动过程及瞬变现象，物理量变化时间尺度较小，故显格式的步长限制有时并不十分严重，且显格式具有编程简单及适宜并行处理的优点，也经常被采用。 对扩散项，当耗散系数较大或空间步长较小时，应优先考虑隐格式。 将前面介绍的单一方程的差分格式对整个方程组进行统一的处理是构造偏微分方程组差分格式的最简单途径。 考虑方程组 其中U 为未知函数，F 为通量项，S 为非齐次项（可以是U 的函数），三者均m 维矢量 上式可写为非守恒形式 其中 为 矩阵 上式中F 可分解为与速度 有关的对流项FT 和诸应力项＋耗散 项FD 常见的单步格式：Lax格式、Lax-Wendroff格式及迎风格式 精度： 稳定条件： 式中 为矩阵A的最大本征值 该格式可推广到二、三维，相应的稳定条件为 对流体，为声速 精度：