§1.1.1数列与函数的极限.docVIP

§1.1.1数列与函数的极限 1.《的数列极限》 ① 数列极限的定义：对于任意的一个无穷数列，当趋向于时，趋向于某个常数,则这个常数称为数列的极限。记作： . ② 数列极限的运算律： 若数列，均存在极限，设，，则： 例1：求下列数列的极限 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 《的函数极限》 ① 函数极限的定义：⑴ 当从点的左侧向右无限趋近于时，无限趋近于常数，则称是函数在处的左极限，记作： . ⑵ 当从点的右侧向左无限趋近于时，无限趋近于常数，则称是函数在处的右极限，记作： . ⑶ 当函数在处的左、右极限均存在且相等，即：时，则称函数在处的极限为，记作： . 【思考】：判断函数在和处是否存在极限？ ② 函数极限的运算律： 若函数，在处均存在极限，设，，则 例3：求下列函数的极限 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ §1.1.2变化率与导数 瞬时速度的概念:运动的物体经过某一时刻（或某一位置）的速度，称为“瞬时速度”. 瞬时速度 ；（平均速度的极限） 分析： 例1：物体自由落体运动方程，位移单位：，时间单位：，加速度, 求时刻该物体的瞬时速度. 曲线的切线：设为曲线上一定点，为曲线上附近的一动点，当点无限接近点时，割线便无限趋近于某一极限位置，我们将直线称为曲线在点处的切线. 切线斜率 ；（割线斜率的极限） 分析： 例2：①求曲线在点处的切线斜率； ②求曲线在点处的切线方程； ③过点作曲线的切线，求切线方程及切点坐标； 导数的概念：已知函数，若取一个的增量，则在区间上，函数的增量为，若平均变化率，当时存在极限，就称函数在处可导，并将极限称为函数在处的导数，记作： 或 ； 即： 【思考】：判断函数在处是否可导？ 求函数在处导数的一般步骤： ① ； ② ； ③ ； 例3：①已知，求； ②已知，求； 导函数的概念：若函数在内可导，（即，均存在）则点构成的曲线即为函数在区间内的导函数（简称导数）. 例5.求下列函数的导数: ① ② ③ 例6.证明：若函数是定义在上的可导函数，且为奇函数（或偶函数），则函数的导函数为上的偶函数（或奇函数）. §1.1.3 函数的求导公式及方法 1.基本公式及证明 ① 常函数： （为常数），规定： ； ② 幂函数：，则： ； , 则： ； 推广：，均有 ③ 三角函数: ，则： ； ，则： ； ④ 对数函数： ，则： ； ，则： ； ⑤ 指数函数：，则： ； ，则： ； 例1：已知为曲线上一点. ① 求点处的切线方程；② 求经过点的切线方程； 练习①：若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则 ； 练习②：已知双曲线与函数的图像交于点，若函数的图像在点处的切线过双曲线的左焦点，求双曲线的离心率. 例2: 如图，质点在半径为的圆上沿逆时针方向作匀角速运动，角速度为，设为质点的起点，求时刻点在轴上的射影点的运动速度. 练习①：，，…，，则 ； 练习②：，则 ； 导数的四则运算法则 已知函数， 定理1：: 定理2： 定理3： 例3：求下列函数的导数. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 复合函数的求导法则 已知函数，复合为函数 定理4： 例4：① ，求，，， ② ，求， 例5：求下列函数的导数. ① ② ③