§2变换群、置换群与循环群.pptVIP

§2 变换群、置换群与循环群 例14.8:证明不等边长方形所有对称的集合, 关于其合成?构成群。 B4={e,?,?,?},[B4;?]是4元素群,称为Klein四元群。 一、变换群 变换:非空集合S到S的一个映射, 当映射是一一对应时, 称为一一变换。 SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, SS={f|f:S?S}， [SS;?]是半群。是拟群。不是群 T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 T(S)={f|f?SS,且f为一一对应} [T(S);?]是群 定义14.5:设G?T(S),当[G;?]为群时,就称该群为变换群,其中?为一一变换的合成(复合)运算,并称为变换的乘法。 定理14.9:[T(S);?]是一个变换群。 变换群不一定是交换群 二、置换群 定义14.6:设S??,|S|+?,S上的一个一一变换称为置换。S上的某些置换关于乘法运算构成群时, 就称为置换群。 若|S|=n,设S={1,2,?,n},其置换全体组成的集合表示为Sn; [Sn;?]是一个置换群, n次对称群。 S上的置换??Sn,习惯上写成 n次对称群Sn是有限群,问|Sn|=? S上的一一变换个数有多少? S上的一一变换个数是n!,即|Sn|=n!。 下面以三次对称群S3为例， 考察群运算。 定义14.7:设|S|=n, ??Sn, 形如: 定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解为不含公共元的若干个循环置换的乘积。 证明:对n作归纳 n=1,成立 假设对n1，|S|?n-1,结论成立 当|S|=n,任取Sn中的置换? 由元素1出发取?上的循环置换 推论14.1:任意一个置换可以分解为若干个对换的乘积。 说明分解不唯一 定理14.11：任意一个置换可分解成对换的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些对换的个数是奇数个还是偶数个却完全由置换本身确定。 对一个置换，它可能有不同的对换乘积，但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。 定义14.8：一个置换的对换分解式中, 对换因子的个数是偶数时称该置换为偶置换,否则, 称它为奇置换。 长度为k的循环置换 (i1 i2 …ik)=(i1 i2)(i2 i3)…(ik-2 ik-1)(ik-1 ik) 共k-1个对换 所以当k是奇数时，该循环为偶置换 当k是偶数时，该循环为奇置换 推论14.2：一个长度为 k的循环置换, 当k为奇数时, 它是一个偶置换; 当k为偶数时, 它是一个奇置换。 推论14.3：每个偶置换均可分解为若干个长度为 3 的循环置换的乘积, 循环置换中可以含有公共元。 证明:对任两个对换: (a,b)(c,d) (a,b)(b,c) 推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算下,其奇偶性由下表给出: ? 偶置换 奇置换 偶置换 偶置换 奇置换 奇置换 奇置换 偶置换 恒等置换看作为偶置换 Sn= On∪An On∩An=? 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，?是An上的运算 [An;?]是代数系统。 1.封闭性 2.结合律当然成立 3.恒等置换e?An 4.对于??An, ?在Sn中有逆元?-1, ?-1也是偶置换 推论14.5：对称群Sn中所有偶置换组成的集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。 定义14.9：称上述[An;?]为n次交待群。 由于An中每个元素都是置换,因此根据置换群的定义可知[An;?] 也是置换群. |An|=? 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换，它也是An的元素，|An|=1。 若n1, |An|=|On|= 例：G={g1, g2,? gn},[G;?]是群,对任意g?G,定义映射?g:G?G,使得对任意x?G,有?g(x) =g?x。设?={?g|g?G},则[?;?]是置换群。这里?是关于映射的复合运算. 证明: (0)?是?上的运算 (1)?是满足结合律的. (2)存在单位元 (3)对任意?g?? ,存在逆元 (4)?g是G上的置换 三、循环群 1.元素的阶 定义14.10:设G为群, e是G的单位元，对于a?G, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a的阶无限。 作业: P293 12.(2) (3), 13 * * 这里?(i)即为i在函数?下的象，这里1,2, ?,n次序无关，即 其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换, 称其循环长度为d。上述?可写为?=(i1,…, id)，其中在变换?下的象是自身的元素就不再写出。 特别, 当 d=2时称为