曲线积分与曲面积分研究报告.ppt

科学出版社 科学出版社 第十章 曲线积分与曲面积分 科学出版社 已经学过： 这些积分的特点是： 这就是 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分(第一型曲线积分) 对坐标的曲线积分(第二型曲线积分) 对面积的曲面积分(第一型曲面积分) 对坐标的曲面积分(第二型曲面积分) 是直线上的区间，平面上和空间的区域. 积分是累加问题， 上函数， 如何处理呢？ 当涉及定义在平面或者空间曲线弧 甚至定义在空间曲面上函数的累加问题， 该 积分域是“平”的. 定积分，二重积分，三重积分 曲线积分和曲面积分. 科学出版社 第一节 一、第一型曲线积分的概念 二、第一型曲线积分的计算 第一型曲线积分 第十章 科学出版社 一、第一型曲线积分的概念 设有一平面曲线物体 L， “分割, 近似(直代曲), 求和，取极限” 可得 为计算此物体的质量m, 曲线状物体的质量. 采用 是 (x, y) 的连续函数. 其线密度 实例1. (其中 最大长度) 为 n 个小弧段的 科学出版社 曲顶柱面的侧面积 实例2. 设 f (x, y)连续非负， 面xOy上以L为底，以z=f (x, y)为 顶的曲顶柱面的侧面积， “分割, 近似(直代曲), 求和，取极限” 根据 可得 求在坐标平 L z=f (x, y) O x y z 科学出版社 设 f (x, y) 是定义在平面光滑曲线 L上的有界 都存在, 第一型曲线积分， 若将 L 任意分割成 n 个小曲线段 则称 I 为函数 在曲线 L 上 或对弧长的曲线积分. 任取 记为 称为被积函数， L 称积分路径， ds 称弧长元素. 函数, 定义1. 如果对 L 的任意分法 以及介点 的任意取法， 极限 科学出版社 曲顶柱面的侧面积 曲线状物体的质量 若函数 f (x, y) 在光滑曲线 L 或者分段光滑曲线 L上 连续， 则 f (x, y) 在曲线 L上的第一型曲线积分存在. 类似地, 第一型曲线积分： 可积条件 可以定义三元函数 f (x, y, z) 沿空间曲线 L的 科学出版社 3. 性质 （?, ? 为常数) ( L 由 组成) ( S 为曲线弧 L 的长度) (4) 若 L 关于x 轴 (或 y 轴) 对称, 是奇函数， 即 则 f (x, y) 关于 y (或 x ) 科学出版社 二、第一型曲线积分的计算法 基本方法: 转化为计算定积分. 且 上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 将计算曲线积分 科学出版社 如果曲线 L 的方程为 则有 如果方程为极坐标形式: 则 设空间曲线的参数方程为 则 对于空间曲线有类似结论. 科学出版社 设 L 为单位圆的右半圆周，求 例1. 曲线 L 的参数方程为 得 解法一: 科学出版社 例2. 计算 其中 L 是以 为顶点的三角形的边界. O x y B A 解: 因 L 由 三条线段连接而成， 故 从而 科学出版社 例3. 计算 其中L为双纽线 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 解: 科学出版社 其中 L 为球面 被平面 所截的圆周. 解: 曲线 也可以表示为 这是一个半径为 a 的圆. 于是 例4. 计算 科学出版社 例5. 其中L 为球面 解: 化为参数方程 则 计算 科学出版社