数学第十二章研究报告.ppt

返回 后页 前页 §1 级数的收敛性 级数是数学分析三大组成部分之一，是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用. 对于有限个实数 u1,u2,…,un 相加后还是一个实数， 这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万 世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加” 起来是: 由于前 n 项相加的和是 ，可以推测这“无限 个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数 相加”的表达式 中，如果将其写作 结果肯定是0，而写作 则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”;如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新 的理论. 定义1 给定一个数列{un}, 将其各项依次用“+”号 连接起来的表达式 称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 un 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也 常记为 . 在不致误解时可简记为 数项级数(1)的前n项之和记为 称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和. 定义2 若数项级数(1)的部分和数列 收敛于 S (即 ), 则称数项级数(1)收敛, S 称为数 项级数(1)的和,记作 例1 讨论等比级数(也称几何级数) 的收敛性(a≠0). 若 是发散数列,则称数项级数(1)发散. 解 q≠1时, 级数(3)的第 n 个部分和为 因此 此时级 数(3)收敛,其和为 综合起来得到: 级 数(3)发散. 例2 讨论数项级数 的收敛性. 解 级数(4)的第n个部分和为 由于 因此级数 (4) 收敛,且其和为 1. 注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它 的部分和数列 来确定, 因而也可把级数(1)作为 数列 的另一种表现形式. 反之, 任给一个数列 , 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则 这个数项级数就是 这时数列 与级数 (5) 具有相同的敛散性, 且当 收敛时,其极限值就是级数(5)的和. 基于级数与数列的这种关系,读者不难根据数列极 限的性质得出下面有关级数的定理. 定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要 条件是:任给正数 使得当 以及对任意的正整数 p 都有 根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻 写出级数(1)发散的充要条件是: 对 任何正整数N,总存在正整数m0(N)和p0，有 由定理12.1立即可得如下推论. 推论(级数收敛的必要条件) 若级数(1)收敛,则 注 推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于 零, 级数一定发散, 但一般项趋于零, 则级数未必 收敛，因此用来判断级数发散很有效. 如级数 例3 讨论调和级数 的敛散性. 解 这里一般项 ,不能利用推论判断级数 的敛散性. 因为一般项un=( )n-1不趋于零，所以发散. 若令 p = m, 则有 故取 对任何正整数 N 只要 m N 和 p = m 就有(7)式成立，因此调和级数发散. 例4 判断级数 的敛散性. 解 因为 所以由级数收敛的必要条件知原级数发散. 例5 运用级数收敛的柯西准则证明级数 收敛. 证 由于 因此, 当mN及任意正 整数 p,由上式可得 收敛. 注 级数 的收敛性已由例5的证明过程所 显示.