数学建模实例研究报告.ppt

引例一 建立微分方程的常用方法 微分方程的建模步骤 解 单位匹配 建立表达式 （1）问题分析与模型的建立 （2）解 案例3、追线问题 图2 走私船与缉私舰的位置关系 几何关系 如何消去时间t? 追线模型： 解的进一步讨论 问题及其背景 降落伞（parachute）是由柔性纺织物制成的伞状气动力减速器，可分为人用伞和物用伞，在军事、抢险救灾等方面有着广泛的用途。人用伞使用时通常离开飞行器后马上张开，但有时因为特殊需要，要求跳伞者从高空跳下，降落适当距离后才在半空中手动开伞，一般要求跳伞者在空中停留的时间尽可能短，又能以安全的速度落地。那么，何时张伞好呢？ 分 析 我们主要关心什么呢？是跳伞者的落  地速度和在空中的停留时间。因此我们首先要考虑跳伞者的降落速度，它是时间的函数。跳伞者（包括降落伞，下同）在降落过程中主要受到重力和空气阻力的作用以及气流运动的影响，一般所受到的空气阻力与降落速度成正比。因为我们主要关心一般情况下降落速度的垂直分量变化情况，可以忽略水平分量，不考虑气流运动的影响，只考虑其作垂直降落运动。 根据牛顿运动学第二定律以及加 速度是速度关于时间的导数，我们 就能列出降落速度满足的微分方程。虽然张伞前后跳伞者所受到的空气阻力的情况差别较大，但可认为仅是所受空气阻力与降落速度的比例系数不同而已，这样，如果忽略张伞时间，可以分张伞前和张伞后来建立类似的模型。下面主要建立张伞后的模型。 模型的假设 何为房室系统？ 在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫“房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联系的部分（多房室系统）。 房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，（注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中，我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很简单，意图在于介绍建模方法。 交换 环境 内部 单房室系统 均匀分布 案例5 药物在体内的变化（房室模型） 药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即： 药物分布的单房室模型 单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式： 药物的输入规律与给药的方式有关。下面，我们来研究一下在几种常见的给药方式下体内药体的变化规律。 机体 环境 药物总量 图3-8 假设药物均匀分布 情况1 快速静脉注射 机体 环境 只输出不输入房室 其解为： 药物的浓度： 与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的时间称为药物的血浆半衰期： 负增长率的Malthus模型 在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。设机体的体积为V，则我们可以近似地将系统看成初始总量为D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地满足微分方程： （3.12） 情况2 恒速静脉点滴 机体 环境 恒定速率输入房室 药物似恒速点滴方式进入体内，即: 则体内药物总量满足： （x(0)=0） （3.13） 这是一个一阶常系数线性方程，其解为： 或 易见： 称为稳态血药浓度 对于多次点滴，设点滴时间为T1，两次点滴之间的间隔时间设为T2，则在第一次点滴结束时病人体内的药物浓度可由上式得出。其后T2时间内为情况1。故： （第一次） 0≤t≤T1 T1≤t≤T1 +T2 类似可讨论以后各次点滴时的情况，区别只在初值上的不同。第二次点滴起，患者 体内的初始药物浓度不为零。 情况3 口服药或肌注 y(t) x(t) k1y kx 环境 机体 外部药物 口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记比例系数为K1，即若记t时刻残留药物量为y(t)，则y满足： D为口服或肌注药物总量 因而： 所以： 解得： 从而药物浓度： 在通常情况下，总有k1k（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力有关）。当k1k时，体内药物