数学建模中的插值研究报告.ppt

* * 第二部分 插 值 引言：在工程中，常有这样的问题：给定一批数据点（设计师给定，也可能从测量与采样中得到），需确定满足特定要求的曲线或曲面，如果要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，这就是插值问题。 主要内容 [1]一维插值 [2]二维插值 [3]实验作业 拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值 一 维 插 值 一、插值的定义 二、插值的方法 三、用MATLAB解插值问题 返回 返回 二 维 插 值 一、二维插值定义 二、网格节点插值法 三、用MATLAB解插值问题 最邻近插值 分片线性插值 双线性插值 网格节点数据的插值 散点数据的插值 一维插值的定义 已知 n+1个节点 其中 互不相同，不妨设 求任一插值点 处的插值 ? ? ? ? ? 节点可视为由 产生, 表达式复杂或 未知. ? 构造一个(相对简单的)函数 通过全部节点, 即 再用 计算插值，即 ? ? ? ? ? ? 返回 称为拉格朗日插值基函数． 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn ．求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中li(x) 为n次多项式： 拉格朗日(Lagrange)插值 拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: 三点二次(抛物线)插值多项式: 拉格朗日(Lagrange)插值 用 次插值多项式 来近似函数 时的误差，记 称 为插值多项式的截断误差或插值余项。 例1 根据下表给出的平方根值，用线性插值计算 4 3 2 1 16 9 4 1 解 取最接近 的两点 为插值节点， 运用线性插值公式，得 例2 根据例1的数据，用抛物线法计算 解 选择与 最近三点 为插值 节点，根据抛物线插值公式，有 插值余项 与节点数有关，但不 能简单的认为节点数越多误差越小，因为 增大时 也许很大 例 在 取等距节点作10次拉格郎日 插值多项式。 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象 返回 分段线性插值 计算量与n无关; n越大，误差越小. ? ? ? ? ? ? xj xj-1 xj+1 x0 xn x Ｏ y To MATLAB xch11，xch12，xch13， xch14． 返回 例 用分段线性插值法求插值,并观察插值误差. 1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11) 4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14) 2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13) 比分段线性插值更光滑 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y xi-1 xi a b 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性． 光滑性的阶次越高，则越光滑．是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子． 三次样条插值 三次样条插值 g(x)为被插值函数． ) ( ) ( lim x g x S n = ￥ ? 例 用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych) To MATLAB ych(larg1) 小结： 以上为一维插值，它们有如下特点：拉格朗日插值 （高次多项式插值），其插值函数在整个区间上是一个解析 表达式，便于再次开发利用；曲线光滑；误差估计有表达 式；收敛性不能保证（振荡现象），用于理论分析，实际意 义不大。分段线性和三次样条插值（低次多项式插值):曲线 不光滑（三次样条已有较大改进）；误差估计较难（对三次 样条插值）；收敛性有保证，简单实用，应用广泛。 返回 用MATLAB作插值计算 一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，method) 插值方法 被插值点 插值节点 xi处的插值结果 ‘nearest’ 最邻近插值；‘linear’ 线性插值； ‘spline’ 三次样条插值； ‘cubic’ 立方插值； 缺省时 分段线性插值． 注意：所有的插值方法 都要求x是单调的，并且xi不 能够超过x的范围． 例：从1点12点的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24．试估计每隔1/10小时的温度值． To MATLAB (temp) hour