数学刘玉琏10-1研究报告.ppt

§1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的弧长 §4 定积分在经济分析中的应用(补充) * * 西南财经大学 省级精品课程 《经济管理数学分析》课题组版权所有 请勿外传 第十章 定积分的应用 经济管理数学分析 §1 平面图形的面积 第十章 定积分的应用 可以应用定积分计算的量有如下特点: 一 微元法(P253) 第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积 抛开 A 的具体含义，把这种思想加以抽象，就得到微元法思想的表述: 数学上将这种思想方法称之为微元法. 总量A的微分dA=?(x)dx 称为总量A 的积分微元. dA=?(x)dx， 即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之和； 若总量与变量 x 的变化区间[a,b]有关，且对区间具有可加性， 在区间[x , x+dx] 上对应分量的近似值 为?(x)dx，则有 且总量为 第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积 1. 若平面图形 D 被夹在直线 x = a与x = b之间，且其上下边 界的方程分别为 y = ?(x)和 y = g(x). 以dx为底，?(x) – g(x)为高的小矩形 面积微元 分析: 对任意的x∈[a,b]，作垂直于x轴的直线穿区域D，则 dA = [?(x) – g(x)]dx. 二 直角坐标系下平面图形面积的计算 则平面图形D的面积为 dA 第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积 例 计算由两条抛物线: 所围成图形的面积. 解 为了求出面积，一般先画出两条曲线所围成的图形. 为了定出图形的所在范围, 应先求出这 两条抛物线的交点，为此, 解方程组 即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及(1, 1). 从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间. 则 O x (1,1) x x+dx 1 y 取 x 为积分变量, 且 x ∈[0,1], 微元为 第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积 dA 2. 若平面图形 D 被夹在直线 y = c 与 y = d 之间，且其左右边界的方程分别为x =φ(y) 及x =ψ(y) . O x=φ(y) c d y+dy y x=ψ(y) x 以dy为底，φ(y)–ψ(y)为高的小窄矩形 面积微元 y 分析: 对任意的y∈[c,d]，作垂直于y 轴的直线穿区域D，则 dA = [φ(y)–ψ(y)]dy. 则平面图形D的面积为 dA 第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积 O y – 4 (2,– 2) y y+dy y=x–4 为了定出图形的所在范围，应先求 出抛物线和直线的交点，为此, 解 为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形. (8,4) 即这两条抛物线的交点为 (2, ?2) 及 (8, 4). 解方程组 从而知道这图形在直线 y = ?2 及 y = 4 之间. 取 y 为积分变量,且 y ∈[?2,4], 微元为 x (x=y+4) 则 第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积 dA – 2 4 思考: 若选 x 为积分变量，应该如何做? O x y (2,–2) (8,4) 2 8 –4 =18. 解法2 第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积 如果曲边梯形的曲边为参变量函数 当x=x(t)严格单调时，则由该参变量函数及直线x=a，x=b和x轴 所围成曲边梯形的面积 三 参数方程下求图形面积(P240) 第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积 注：教材(P240)上的公式. 摆线的一拱可取t∈[0,2π]. 所求面积为 解 第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积 * *