2014年考研定积分经典例题(完美讲析).docx

定积分常见问题一、关于含“变上限积分”的问题 二、定积分计算的有关问题 例2、（分段函数，绝对值函数）[ 例3（对称区间上积分） 例5、（由三角有理式与其他初等函数通过四则成复合而成的函数的积分）， 例6 利用适当变量代换计算积分 例7（其它） 例9?例10、计算下列广义积分（广义积分变量代换例） 经典例题例1 求．解 将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即==．例2 =_________．解法1 由定积分的几何意义知，等于上半圆周 ()与轴所围成的图形的面积．故=．解法2 本题也可直接用换元法求解．令=（），则====例3 比较，，．解法1 在上，有．而令，则．当时，，在上单调递增，从而，可知在上，有．又，从而有．解法2 在上，有．由泰勒中值定理得．注意到．因此．例4 估计定积分的值．解 设 , 因为 , 令，求得驻点, 而 , , ,故,从而,所以 .例5 设，在上连续，且，．求．解 由于在上连续，则在上有最大值和最小值．由知，．又，则．由于，故=．例6求, 为自然数．解法1 利用积分中值定理设 , 显然在上连续, 由积分中值定理得, ,当时, , 而, 故． 解法2 利用积分不等式因为 ,而,所以 ．例7 求．解法1 由积分中值定理 可知 =，．又且，故．解法2 因为，故有．于是可得．又由于．因此=．例8 设函数在上连续，在内可导，且．证明在内存在一点，使．证明 由题设在上连续，由积分中值定理，可得，其中．于是由罗尔定理，存在，使得．证毕．例9 （1）若，则=___；（2）若，求=___．．解 （1）=；（2） 由于在被积函数中不是积分变量，故可提到积分号外即，则可得 =．例10 设连续，且，则=_________．解 对等式两边关于求导得，故，令得，所以．例11 函数的单调递减开区间为_________．解 ，令得，解之得，即为所求．例12 求的极值点．解 由题意先求驻点．于是=．令=，得，．列表如下：-＋－故为的极大值点，为极小值点．例13 已知两曲线与在点处的切线相同，其中，，试求该切线的方程并求极限．解 由已知条件得，且由两曲线在处切线斜率相同知．故所求切线方程为．而．例14 求 ； 解 =====．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15 试求正数与，使等式成立．解 ==，由此可知必有，得．又由 ，得．即，为所求．例16 设，，则当时，是的（ ）．A．等价无穷小． B．同阶但非等价的无穷小． C．高阶无穷小． D．低阶无穷小．解法1 由于 ．故是同阶但非等价的无穷小．选B．解法2 将展成的幂级数，再逐项积分，得到，则．例17 证明：若函数在区间上连续且单调增加，则有．证法1 令=，当时，，则 == =．故单调增加．即 ，又，所以，其中．从而=．证毕．证法2 由于单调增加，有，从而 ．即 ==．故 ．例18 计算．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 ＝＝＝．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界. 例19 计算．分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数． 解 例20 设是连续函数，且，则．解 因连续，必可积，从而是常数，记，则，且．所以，即，从而，所以 ．例21 设，，，求, 并讨论的连续性．解 （1）求的表达式．的定义域为．当时，, 因此．当时，, 因此, 则==，故 ． (2) 在及上连续, 在处，由于 , , ．因此, 在处连续, 从而在上连续．例22 计算．由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 =．由于是偶函数，而是奇函数，有, 于是===由定积分的几何意义可知, 故 ．例23 计算．解 =====．例24 计算．解 =====．注 此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．例25 计算，其中．解 =，令，则= ==．注 若定积分中的被积函数含有，一般令或．例26 计算，其中．解法1 令，则 =．解法2 令，则=．又令，则有=．所以，===．注 如果先计算不定积分，再利用牛顿莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27 计算．解 设，，，则=．例28 计算，其中连续．分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含，然后再求导．解 由于=．故令，当时；当时，而，所以==，故===．错误解答 ．错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式中要求被积函数中不含有变限函数的自变量，而含有，因此不能直接求