28第二十八讲常用逻辑用语.doc

第二十八讲 常用逻辑用语 一、引言 1.在近几年高考中，命题的真假识别与命题等价、四种命题的关系以及充分条件、必要条件是高考试题中的常考内容． 2.考纲要求：了解命题及其逆命题、否命题、逆否命题；理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；能写出一个命题的其他三个命题，并判断真假；了解逻辑联结词的含义，理解全称量词和存在量词的意义，并会判断全称命题和特称命题的真假；能对含有一个量词的命题进行否定． 3.考情分析：本专题内容在2010年高考试题中仍以充要条件的判断、四种命题的关系及等价性，命题真假判断为重点，兼顾命题的否定．考查命题转化、逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力，可以与其它数学内容综合，其命题形式多样，有选择题、填空题、也可以出现在综合题中． 二、考点梳理 1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题： (1)一般地，用和分别表示命题的条件和结论，用￢和￢分别表示和的否定，于是四种命题的形式就是： 原命题：若，则；逆命题：若，则；否命题：若￢，则￢； 逆否命题：若￢，则￢． (2)四种命题的关系： 互为逆否的两个命题同真假. 3．充要条件： ①从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件与结论之间的关系． 若，则是的充分条件，是必要条件； 若且((，则是成立的充分不必要条件； 若且((，则是成立的必要不充分条件； 若且，即，则是成立的充要条件； 若((且((，则是成立的既不充分也不必要条件． ②从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断、相应的集合关系． 建立与、相应的集合，即成立，成立． 若，则是的充分条件，若，则是成立的充分不必要条件； 若，则是的必要条件，若，则是成立的必要不充分条件； 若，则是成立的充要条件； 若AB且BA，则是成立的既不充分也不必要条件． 4．简单的逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫逻辑联结词． ①，记作，含义是：、两个命题中至少有一个成立； ②且，记作，含义是：、两个命题同时成立； ③非，记作￢，含义是：对命题的否定． (注：命题的否定与否命题是两个不同概念) ￢ 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 5．真值表： 6．全称命题和特称命题： ①短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． ②含有全称量词的命题，叫做全称命题；含有存在量词的命题叫做特称命题． 一般地，设是集合的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对中任意一个，都成立”的命题，简记为：；特称命题就是形如“存在中的一个，使都成立”的命题，简记为：． 7．含有一个量词的命题的否定： 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题：，它的否定￢：，￢． 特称命题：，它的否定￢：，￢． 三、典型例题选讲 例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． （1）已知，，为实数，若，则有两个不相等的实数根； （2）两条平行线不相交；（3）若，则，全为零． 分析：写出一个命题的四种命题形式，关键是分清命题的条件与结论，把命题写成“如果…那么…”的形式，再根据四种命题的定义写出其他三种命题即可． 解：（1）原命题是真命题； 逆命题：若有两个不相等的实数根，则，（假）； 否命题：若，则没有两个不相等的实数根，（假）； 逆否命题：若没有两个不相等的实数根，则，（真）． （2）原命题形式可写成：若两条直线平行，则它们不相交，（真）； 逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，（假）； 否命题：若两条直线不平行，则它们相交，（假）； 逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行，（真）． （3）原命题是真命题； 逆命题：若，全为零，则，（真）； 否命题：若，则，不全为零，（真）； 逆否命题：若，不全为零，则，（真）． 归纳小结：(1)本题考查了命题的四种形式，并能进行真假判断，强化对知识运用的灵活性． (2)要注意四种命题之间的等价关系，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价．在判断一个命题是真命题时，要严格按照数学逻辑进行推理证明，而要说明它是假命题时，只需要举出一个反例即可． (3)在否定条件或结论时，要注意否定词语的使用．常见否定词语有： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 至少有两个 正面词语 至少有一个 任