南京信息工程大学大一高数期末考试试卷B(理科).doc

南京信息工程大学试卷 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 1.设，则　的一个原函数是 . 2.曲线与轴、轴和直线所围成的面积是 . 3.已知曲线上的任一点的切线斜率是，而且曲线经过定点，则 曲线方程 . 4.在Ｒ上的零点有 个. 5.已知存在，且，则 . 二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 1.已知具有二阶连续导数，则下面正确的是（ ） A.　 B. C. D. 2. （ ） A.　 B. C. D. 3.已知的一阶导数在Ｒ上连续，且， 则（ ） A.　 B. C. D. 4.设的导数在处连续，又，则 （ ） A.是的极小值点 　 B.是的极大值点 C.是曲线的拐点 D.不是的极值点，也不是曲线的拐点。 5. 设，那么　在点处（ ） A.　其连续性无法判定。　　　　　B.　是可导的。 C.　是连续的，但不可导。　　　　D.　是不连续的。 三．计算题（本题共6小题，共38分） 1. 求　。(6分) 2. 求抛物线　的曲率半径。(6分) 3. 求函数的极值和拐点。(6分) 4.已知函数，求。(6分) 5.求。(7分) 6.设可导，，若，求。(7分) 四. 证明题（22分） 1.证明：当时，。 （6分） 2.设在上连续，在内可导，且，证明：至少存在一点，使得　。 (8分) 3.设在上连续且单调减少，试证明对任何，皆有： 　。 （8分） 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 1. 2. 3. 4. 2 5． 二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 1-5. DBDBC 三．计算题（本题共8小题，共38分） 1. 解一： 解二： 2. 解： ，则 ， 故。 3. 解： ① 当时 ， 令，得的驻点：， 令，得的可疑拐点：， ② 当时 ， 令，得的驻点：， 令，没有可疑拐点， ③ 是的不可导点 又当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，是的极小点，极小值是 和 是的极大点，极大值是 又当时，， 当时，， 当时，， 点和点是的拐点。 4. 解： 所以 5. 解： 6. 解：记，那么当时， 两边求导，得： 所以 又，可导必连续，从而得 所以 于是两边求定积分，得： 所以 四、证明题（22分） 1. 证一：令 则，在上连续，且， 令，得驻点 当时，，单调增加， 当时， 又当时，，单调减少， 当时， 综上所述，当时，，即。 证二：令 则，在上连续，且， 在上是向上凸的， 当时，， 即得：当时，。 2. 证：令， 、在上连续，在内可导， 在上连续，在内可导， 根据拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得： ………..(*) 又， （或直接在上应用罗尔定理即可证得。） ， 由(*)式可得 ：，即 所以，至少存在一点，使得　。 3. 证：令 ，则 在上连续，在上可导，又显然有。 对求导，得：当时 在上单调减少，当时，， 所以 从而，在上是单调减少的，于是当时，有： ，即：。