常用逻辑用语典型例题.doc

常用逻辑用语 1．命题及其真假判断 (1)可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题． [例1]　下列语句哪些是命题，是命题的判断其真假． ①方程x2－2x＝0的根是自然数； ②sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是任意角)； ③垂直于同一个平面的两个平面平行； ④函数y＝12x＋1是单调增函数； ⑤非典型肺炎是怎样传染的？ ⑥奇数的平方仍是奇数； ⑦好人一生平安！ ⑧解方程3x＋1＝0； ⑨方程3x＋1＝0只有一个解； ⑩3x＋1＝0. [解析]　①②③④⑥⑨都是命题，其中①④⑥⑨为真命题． [点评]　⑤是疑问句，⑦是感叹句，⑧是祈使句都不是命题，⑩中由于x的值未给，故无法判断此句的真假，因而不是命题． [误区警示]　含有未知数的等式、不等式，当式子成立与否与未知数的值有关时，它不是命题． (2)复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧． [例2]　判断命题：“若a＋b≠7，则a≠3，且b≠4”的真假． [解析]　其逆否命题为：“若a＝3或a＝4，则a＋b＝7”．显然这是一个假命题， ∴原命题为假． 2．四种命题的关系 (1)注意：若p，则q，不能写作“p?q”，因为前者真假未知，而“p?q”是说“若p，则q”是一个真命题． (2)原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假． (3)互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系． [例3]　写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假： (1)?n∈N，若n是完全平方数，则∈N； (2)?a，b∈R，如果a＝b，则a2＝ab； (3)如果x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (4)如果a，b都是奇数，则ab必是奇数． (5)对于平面向量a，b，c，若a·b＝a·c，则b＝c. [解析]　(1)逆命题：?n∈N，若n∈N，则n是完全平方数．(真) 否命题：?n∈N，若n不是完全平方数，则n?N.(真) 逆否命题：?n∈N，若n?N，则n不是完全平方数．(真) (2)逆命题：?a，b∈R，若a2＝ab，则a＝b.(假) 否命题：?a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab.(假) 逆否命题：?a，b∈R，若a2≠ab，则a≠b.(真) (3)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或7.(真) 否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0.(真) 逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真) (4)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数．(假) 否命题：若ab不全是奇数，则ab不是奇数．(假) 逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不全是奇数．(真) (5)逆命题：对于平面向量a、b、c，若b＝c，则a·b＝a·c.(真) 否命题：对于平面向量a、b、c，若a·b≠a·c，则b≠c.(真) [误区警示]　①“p或q”的否定为“綈p且綈q”；“p且q”的否定为“綈p或綈q”． ②实数xy＝0，则有x＝0或y＝0，向量a、b满足a·b＝a·c不能得出b＝c. 3．量词与复合命题 (1)逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的“交”、“并”、“补”有着密切的联系，借助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解． 逻辑联结词“且”、“或”还可借助电路的“串联”、“并联”来类比理解，如图． 含有逻辑联结词的复合命题真假判断，要以真值表为标准． [例4]　分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来： (1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式； (2)方程x2＝1的解是x＝±1； (3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上； (4)3≥3. [例4]　分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“綈”表示出来： (1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式； (2)方程x2＝1的解是x＝±1； (3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上； (4)3≥3. [解析]　(1)p∧q形式，其中p：x＋1是x3＋x2－x－1的因式，q：x＋1是x3＋1的因式． (2)p∨q形式，其中p：方程x2＝1的一个解是x＝1，q：方程x2＝1的一个解是x＝－1. (3)綈p形式，其中p：点(3,4)在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上． (4)p∨q形式，其中p：33，q：3＝3. [误区警示]　若把方程x2＝1的解是x＝±1，写成简单命题p：x2＝1的解是x＝1，q：x2＝1的解是x＝－1，p∨q形式，就错了，从真值表判断，p，q都是假命题，但原命题为真命题． [例5]　写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：有些三角形是直角三角形． (2)p：方程2x＋1＝0有一负实