新生课论文---数学美.doc

新生课感想 区锦康 男 信息与计算科学2班 1302130202 数学美是真与善的统一，这个公式里包含了三种基本运算——加、乘、次方。包含了数学里面5个最为重要的数字——自然底数e、圆周率、虚数单位i、实数单位1，还有一个数学爱的。遗憾的是，我能理解勾股定理，却不能理解欧拉公式。不过这并不影响我欣赏它。为什么呢？因为我确信而且事实上它是真的。 数学美是建立在严格的确定性上的，只有正确的数学才称得上是美的。 古希腊伟大的哲学家亚里士多德早就指出：“认为数学的科学全不涉及美或善是错误的。……数学的科学特别体现了秩序、对称、和明确性，而这些正是美的主要形式。”另外，英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素（B.Russell）则曾把数学的美形容为一种“冷而严肃的美”。他写道：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐这些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的地步。” 而作为一个伟大的科学家，庞加莱对于数学美（更一般地说，就是科学美）也有强烈的感受。他写道：“一个名副其实的科学家，尤其是数学家，他在他的工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。”这种“伟大的东西”就是与艺术美相提并论的科学美（数学美）。庞加莱对其性质作了具体说明：“我这里所说的美，不是给我们感官以印象的美，也不是质地美和表现美。并非我小看上述那种美，完全不是，而是那种美与科学无关。我的意思是那种比较深奥的美，这种美在于各部分的和谐秩序，并且纯粹的理智能够把握它，正是这种美使物体，也可以说使结构具有让我们感官满意的彩虹般的外表。没有这种支持，这些倏忽而逝的梦幻之美其结果就不是完美的，因为它是模糊的、总是短暂的。相反，理性美可以充分达到其自身。”显然，与罗素的论述相比，庞加莱关于数学美性质的这一分析是更为深刻的。 我认为，数学自身是一种科学也是一种哲学。对于我们这群受到世界本身的作用的生命存在，只有把握好数学这把钥匙，才可能理解世界。而这个欧拉公式，在带给我们美感的同时，还给我们带来什么能更好理解世界的信息，代表着世界中某个什么样的秩序，抑或说，它是不是属于超前的数学呢？ 纵观科学历史的发展，与其他知识部门相比，数学是一门历史性或者说累积性很强的科学。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论。例如，数的理论的演进就表现出明显的累积性；在几何学中，非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广；溯源于初等代数的抽象代数并没有使前者被淘汰；同样现代分析中诸如函数、导数、积分等概念的推广均包含了古典定义作为其特例，…….可以说，在数学的进化过程中，几乎没有发生过彻底推翻前人建筑的情况。当我们对比天文学的“地心说”，、物理学的“以太说”、化学的“燃素说”的命运，就可以看清数学发展不同于其他学科的这种特点。 著名数学史家克朗（M.Crowe）也提出过：“……数学的严格性、证明和确定性是超越时间的。一个定理一旦获得了证明，就永远是真的。”那么既然是已证的，它就是真的，尽管我们现在对它的理解还只是在浅层上，它的美会一直存在到我们重新审视它。 真的美，才是数学美。再看这个数，拉马努金262537412640768743.999999……如果这个数真的是一个整数，那也是非常美的，因为三个普通的无理数进行次方运算都很难拥有这个性质，更何况是这里面还有e跟；而且也不普通，跟黄金分割和斐波那契数列都有关系。不过后来有人算出来，在第13位小数开始就不是9了，而拉马努金… 其中c是与之间的某个值。各种彼此完全不同的函数[只要它们在某一包含在内的开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数]就统一起来了。 再如，为了避免重复的加法运算，人们才引进了乘法：4+4+…+4（7个4）=4×7， 类似地，幂的引进则是为了避免重复的乘法：4×4×…×4（7个4）=4，这样可以令书写简单起来。另外，出于简单性的考虑，数学家们就提出了公理的独立性问题。著名的皮亚诺算术公理系统只用到三个初始概念和五条公理（除通常的逻辑概念与逻辑法则外），它们分别是： 初始概念：“自然数”，“1”，“后继（数）”； 公理1：1是一个自然数。 公理2：任何自然数的后继也是自然数。 公理3：没有两个自然数有相同的后继。 公理4: 1不是任何自然数的后继。 公理5: 如果一个由自然数所组成的集合S包含1，且当S包含任一自然数时，也一定包含它的后继，那么S就包含全部自然数。 皮亚诺