第三讲---不定方程(教用).doc

第三讲 不定方程 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件约束（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组，不定方程也称为丢番图方程. 不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解； （3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 （一）多元一次不定方程（组） 定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 定理1.方程(不同时为零)有整数解的充要条件是. 定理2. 若为 的一个整数解，则方程的一切整数解都可以表示成 为任意整数). 【例题分析】 1．求不定方程的整数解. 解：先求的一组特解，为此对37，107运用带余除法： ，， 将上述过程回填，得： 由此可知：是方程的一组特解， 于是 ，是方程的一组特解. 因此原方程的一切整数解为： . 2．求不定方程的所有正整数解. 解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并移项得： 因为是整数，故也一定是整数，于是有. 用5去除上式的两边，得. 令为整数，由此得。 经观察得是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解：，所以原方程的一切整数解为： . 【规律总结】解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，可以通过带余除法或逐渐减小系数法求其特解，进而得其通解； 定理3.元一次不定方程，()有整数解的充要条件是. 【例题分析】 3．求不定方程的正整数解. 解：先确定系数最大的未知数的取值范围，因为的最小值为1， 所以 . 当时，原方程变形为，即，由上式知是偶数且， 故方程组有5组正整数解，分别为，，，，； 当时，原方程变形为，即，故方程有3组正整数解， 分别为：，，； 当时，原方程变形为，即，故方程有2组正整数解， 分别为：，； 当时，原方程变形为，即，故方程只有一组正整数解：. 故原方程有11组正整数解（如下表）： 2 4 6 8 10 2 4 6 2 4 2 13 10 7 4 1 9 6 3 5 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 【规律总结】解元一次不定方程时，可先顺次求出 ，……，.若 ，则方程无解；若|，则方程有解， 作方程组：，求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得到方程的一切解. （二）高次不定方程（组）及其解法 1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组.因式分解法的理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有固定的程序可循，在具体的例子中才能有深刻的体会； 4、 5、 证明：方程无整数解. 解：对原方程进行变形、因式分解 ， 左边四个括号内奇偶性相同，而为偶数，故括号内每个都为偶数，则应出现，矛盾。 所以原方程无整数解。 评析：将所有字母项放在一起，进行因式分解，再与另一侧数字项对比讨论，推出矛盾. 2．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解.不等式估计法主要针对有整数解的方程，由于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解； 6、解方程：. 3．无穷递降法：假设关于正整数的命题对于某些正整数成立，设是使成立的最小正整数，如果推导得出：存在，使得，成立，则推出矛盾. 无穷递降法适合证明不定方程无正整数解的问题，它的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。 7、 （三）．求不定方程的整数解 将转化为 后，若可分解为 ， 则解的一般形式为，再取舍得其整数解； 7、求不定方程的所有正整数解。 解： 8、求一切实数使得三次方程的三个根均为自然数。 注：本题解法不唯一 【巩固练习】 1、（2005年预赛）等差数列3、10、17、…、2005与3、8、13、…、2003中，值相同的项有 个. 2、（2010年预赛）使方程组至少有一解，且所有解都是整数解的有序实数对 共有 对. 3、（2011年预赛）方程的解集为 . 4、（2013年预赛）关于实数的方程的解集为 . 5、设是整数，且表示两个相邻正整数的积，则 6、满足方程的正整数为 7、 不定方程的整数解为 8、满足方程且使是最大的正整数解为 9、方程的所有正整数解为 10、已知实数满足方程，则 11、设，，则使得是完全平方数的有序整数对（）的个数为 1