大学数学思想方法与创意.pptVIP

大学数学思想方法与创意 唐烁、苏化明、潘杰、宁荣健 第一部分 大学数学思想方法 第一讲：函数思想 第二讲：方程思想 第三讲：分类思想 第四讲：数形结合思想 第五讲：构造思想 第六讲：类比思想 第七讲：反证法 第八讲：对称性原则 第九讲：RMI原则 第十讲：归纳与递推思想 第十一讲：逆向思维 第十二讲：迭代与逼近 第十三讲：发散思维 第十四讲：一般与特殊 第二部分 大 学 数 学 创 意 0.高等数学研究性、创造性例谈 1.变系数线性微分方程线性化的充要条件 1.1基础知识([1]) 1.2背景知识([2]) 1.3论文创作 2. 一类二阶变系数线性微分方程的积分因子解法 2.1基础知识 2.2背景知识 2.3论文创作 3. 函数不等式的积分证法 3.1基础知识 3.2背景知识 3.3论文创作 4. Cauchy-Schwarz不等式的各种形式与推广 4.1基础知识 4.2背景知识 4.3论文创作 5. 两个重要极限的再认识及其应用 5.1基础知识 5.2背景知识 5.3论文创作 6. 中值等式中的“中间点”的渐近性 6.1基础知识 6.2背景知识 6.3论文创作 第二讲 方程思想 2.1 不定积分中的方程思想 我们知道，虽然不定积分是导数的逆运算，但是在求导运算和求积运算中，一般而言，不定积分要复杂的多，例如，我们给出某一个区间上的连续函数，我们可以毫无困难的去求出它的导数。反之，给定某一个区间上的连续函数，我们未必能够求出它的原函数。这是由于一方面连续函数的原函数虽然存在，但未必是初等函数，另外一方面，即使原函数是初等函数我们也未必能够求出它的表达式。我们都知道求不定积分方法多、技巧强，需要我们不断的从中掌握好思想与方法，灵活的加以运用。 下面我通过例子来说明是如何用方程的思想来解不定积分的。 求不定积分 对于 （ ） 解答 求不定积分 解答 求不定积分 解答 2.2 定积分中的方程思想 虽然牛顿—莱布尼兹公式把定积分的计算归结为求被积函数的原函数在积分区间两个端的函数值的差，但有些被积函数的原函数不容易求，甚至有些被积函数的原函数不能用初等函数表示出来。对这些定积分的计算，我们可试用换元积分法、分部积分法及定积分性质，将原来需要计算的定积分转化为一元一次方程，从而求出定积分 求 解答 求 解答 总 结 注：对于定积分 如果我们想使用方程思想来计算，可以尝试作换元. 求 解答 对于求一类含有未知积分的函数，我们可以通过变形（变量代换、求导运算、积分运算等）转化为代数方程或微分方程来处理.下面通过一些实例来说明 设 求 解答 注：事实上，这种形式的题目在积分学中经常出现，是一种常见的题型，我们再举一个含有二重积分的题目，就可以完全理解这类题型的实质 设闭区域 ， 为 上的连续函数，且 求 解答 设 在 上可导， ，且有反函 数 ， ，求 . 解答 求满足等式 的可微函数 解答 2.3 多元微积分中的方程思想 以上几例都是将求未知函数归结于解微分方程，这是现代数学中的标准方法，这个方法在科学中的系统应用不在本书讨论之内，在这里我们强调的是方程（微分方程）思想在解题中的特殊应用，它们散见于各个章节，难以规范化，且往往被忽略. 下面举几个在多元微分、多元积分、级数理论方面的例子，起抛砖引玉的作用. 设 在 内具有二阶导数，且 满足等式 （1）验证 （2）若 ，求 的表达式. 解答 设函数 可微， 且满足， ， 求 解答 设 具有二阶连续导数，曲线积分 ， 其中 为平面上任一简单封闭