第4章随机变量的数字特征.ppt

第一节 数学期望 第二节 方差（Variance） 第三节 协方差及相关系数 第四章　随机变量的数字特征习 题 课 一、重点与难点 二、主要内容 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 二维随机变量的数学期望 方差的定义 方差的计算 方差的性质 协方差与相关系数的定义 协方差的性质 相关系数定理 三、典型例题 相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度. 若 =0， Y 与 X 无线性关系; Y与X有严格线性关系; 若 若0| |1, | | 的值越接近于1, Y 与 X 的线性相关程度越高; | | 的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱. 设 求 的相关系数. 可见，若（X ,Y ）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。 ? ? ? ? 前面已证明：二维随机变量 X与Y相互独立的充分必要条件为?=0 证 (X,Y)的联合密度函数为 边缘密度函数为 X与Y相互独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)，而 成立的充分必要条件是?=0。 相互独立 互不相关 指 之间没有任何关系, 当然也没有线性关系 指 之间没有线性关系,但可能有其它关系 相互独立 互不相关 设 则 若(X,Y)服从二维正态分布，则 X与Y独立 X与Y不相关 例3 设(X, Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布，求X与Y的相关系数. 解 D 1 x=y 三、练习 1、 2、 1、解 2、解 四、小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数、 相关系数是刻划两个变量间线性相关程度的一个重要的数字特征. 注意独立与不相关并不是等价的. 当(X,Y) 服从二维正态分布时，有 X 与 Y 独立 X 与 Y 不相关 六种常用随机变量的期望与方差 小结 一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题 1.重点 数学期望的性质和计算 2.难点 数字特征的计算 方差的性质和计算 相关系数的性质和计算 数学期望 方 差 离散型 连续型 性 质 协方差与相关系数 二维随机变量的数学期望 定 义 计 算 性 质 随机变量函数的数学期望 定 义 协方差的性质 相关系数定理 离散型随机变量函数的数学期望为 则有 则有 1. 设C是常数, 则有 2. 设X是一个随机变量, C是常数, 则有 3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有 4. 设X, Y 是相互独立的随机变量, 则有 同理可得 解法二: 若设 i=1,2，…，n 则 是n次试验中“成功” 的次数 X~B(n,p), 则 X 表示n 重努里试验中的“成功”次数。 i=1,2，…，n E(Xi)= p, D(Xi)= p(1- p) , 于是 由于X1,X2,…, Xn 相互独立 = np(1- p) X 的分布率为 前面已算得 2. 泊松分布 P(?)： 因此,泊松分布 泊松分布E(X)=D(X)其直观意义可解释如下：设售票站单位时间接待的顾客人数服从泊松分布。当λ越大时，即出现顾客人数越多的时段，顾客数的离散程度也就越高，即越忙时，越会发生时忙时闲，忙闲不均的情况。 3、均匀分布 因此,均匀分布 4、指数分布 设随机变量 X 服从指数分布,其概率密度为 解 由此可知,指数分布 5、正态分布 于是 例如, 分　　布 参数 数学期望 方差 两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 例 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立) 按题意 本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随 机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求 数学期望的,此方法具有一定的意义. 矩 随机变量的矩是更一般的数字特征，数学期望与方差都是某种矩。矩在概率论与数理统计中有许多应用，这里我们介绍两种常用的矩。 定义4.4 设 X 是随机变量，若 Xk，k=1,2,…的数学期望存在，则称它为k阶原点矩，记为μk ,即 若[X-EX]k,k=1,2,…的数学期望存在，则称它为X的k阶中心矩，记为 , 即 五、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的方差. 它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征 .