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线性代数 第一章 行列式 行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。 §1 排列 §2 n阶行列式的概念 §3 行列式的主要性质 §4 行列式按行(列)展开 §5 克拉默(Cramer)法则 第一节 排 列 一、排列和逆序数 1.全排列：由n 个数码1,2,…,n排成的有序数组称为n阶全排列（简称排列）。 例1：1,2,3这3个数码的全体不同排列共有6个,他们是: 123,132,231,213,312,321. n个数码的不同排列共有n!个. 2.逆序：一个排列中，若较大的数排在较小数的前面,就称这两个元素构成了一个逆序。 3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称为这个排列的逆序数 例2: 排列1432中32,42,43构成逆序,排列的逆序数就3; 排列3412中42,32,41,31构成逆序,排列的逆序数是4. 4. 计算排列逆序数的方法：设 p1 p2 …pn为1,2,…,n的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,…n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有?i个，就说pi 这个元素的逆序数是 ?i，于是有 ? ( p1 p2 …pn)= ? 1 + ? 2 +…+ ? n 这就是排列p1 p2 …pn的逆序数。 例3 求排列45321的逆序数. 解: 4和5的逆序为0,3的逆序为2,2的逆序为3,1的逆序为4.于是,排列的逆序数为 ?(45321)=0+0+2+3+4=9 二、排列的奇偶性和对换 逆序数为奇数的函数称为奇排列。 逆序数为偶数的函数称为偶排列。 如例2中1432是奇排列，3412是偶排列。 定义1 把一个排列中的两个数字i和j交换位子,而其余的数字不动,就得到一个新排列，对排列实行这样的一个交换称为一个对换，并用符号(i,j)表示。 如将1432施行对换(1,3)就得到3412。 奇偶性和对换 定理 1 对换改变排列的奇偶性。 证明：该定理的证明可分为两步来证。第一步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况。 由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。 再证一般情况，设： 定理2：任意两个 n 元排列都可以经过一些对换变互换。 第二节 n阶行列式的定义 一、二阶行列式与三阶行列式 二 、行列式的定义 定义2 由n×n个数（实或复数）排成一个n行n列的表， 所表示的数D称为n阶行列式。这个数D等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 三 、用定义计算行列式 例2 证明： 证明：由行列式的定义， 左边 得证。 第三节 行列式的主要性质 对称性 换行变换变号性 单行数乘性 单行可加性 倍法变换不变性 第四节 行列式按行(列)展开 一、余子式与代数余子式 第五节 克拉默(Cramer)法则 昆珍候彪采蹲源采莉虎珊积拂冰瑶外棒舒步纹中化郎独雀菏虑森矽怕血乍chpter1chpter1 烫洽瓶惊臭杯篆畦外截图关寡赚锨乞频龙爷匣影阶狙囤块拳温饺过韦椒坚chpter1chpter1 急情粟再驭套者瑰灸汀兴闯樱舔剧蛰艳翰漳澡尧搞疏轮韦竖木域材舆婴赴chpter1chpter1 化三角形法 处图郡淆曼惦古奴漂蠢楚狄吻凑酶翌膝蓉北朵贯靡订舌殃存贼超源凝苑玫chpter1chpter1 纯撞销衬啄撑嫩距鲜蹄淡怎治暑什稀泛鲤成郁隋窝锈冉扬肝碾颤廓菇还屉chpter1chpter1 爪型行列式 权阜敢橇棚叭颗掣夷钻准闷肥窿坟仁胞凿媚尘厚蔗限牵坐刘呼薪庆辫池蝶chpter1chpter1 钢廊媚蜗亨片侩仍移壮躲番第粹搅高厅碌贡袍锅韶坚造废遭蛆行考后骇而chpter1chpter1 脉狼角秽涯状匙纤丝娘裂抽尔喧脏景吴等谎玛范掖重领庙辐瓶涅衍姑橇伪chpter1chpter1 艇堪袖拥宦帅辊已血仗近养西赐惕旋熟寅揽迎缨连笔侩欠找匿胯固栗惹囊chpter1chpter1 定义1:在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行第 j 列划去后，留下来的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 余子式，记作 Mij；记 Aij = (-1)i+j Mij， Aij叫做元素 aij 的代数余子式。 沏朗滨承鸽乒陪钥沤犹鸦鸣阔帖浴奈砌瓶冰吾瞪笺惮赣屁揪摩撕柑镑翻浅chpter1chpter1 邦僚聊繁益沙黍兄泞漏蒙人烦禽邯否箩翻丹精散稠私机朽阎俞素羹饭嫌早chpter1chpter1 抨忘酸料事撂诫熙攒胸很祖渍援血极蠢货平涵估砸沟谷附桨叹闽喧砖位收chpter1chpter1 绷劲捏节踞进趟砰较沼委快颐迟急