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第八章 拉普拉斯变换 8.1 拉普拉斯变换的概念 例8.3.2 求函数 的拉氏逆变换． 【解】 因为 例8.3.3求 【解】 性质2 延迟定理 若设 为非负实数， ，又当 时， ，则 (8.3.2) 或 【证明】由定义出发，随后令 ，可得 利用 ＜0时， =0，积分下限可改为零，故得 例8.3.4 已知 ，求 【解】用阶跃函数表示 再利用线性定理及延迟定理，有 性质3 位移定理 若 ，则有 (8.3.3) 其中 是 的增长指数． 证明 根据定义 例8.3.5 求 【解】令 = ，则由 得 = 利用位移定理 ，即有 性质4 相似定理 设 ，则对于大于零 的常数 ，有 （8.3.4） 【证明】由定义出发，随后作变量代换 ，则 性质5 微分定理 设 存在且分段连续，则 （8.3.5） 【证明】 由定义出发，随后用分部积分，可得 同理，用 取代上述的 ，可得 继续作下去，即得所证． 特别地，当 则 性质6 像函数的微分定理 (8.3.6) 【证明】在拉氏变换定义式两边对 求导 继续作下去，即得所证． 性质7 积分定理 设 ，则 (8.3.7) 【证明】设 ，则 由微分定理，有 即 由 可得 一般地对应n重积分，我们有 性质8 像函数的积分定理 (8.3.8) 【证明】由拉氏变换的定义式出发，随后交换积分次序 上面交换积分次序的根据是 在满足 条件下是一致收敛的． 性质9 拉氏变换的卷积定理 (1) 定义 8.3.1 拉氏变换的卷积 前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，当 是 上绝对可积函数时，它们的卷积是 * * 拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分） 是在19世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside) 发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严 密的数学论证．后来由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密 的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法． 拉普拉斯（Laplace）变换在电学、光学、力学等工程技术 与科学领域中有着广泛的应用．由于它的像原函数 要求 的条件比傅里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用面要广．本部分首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积分表达式――复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最后介绍拉普拉斯变换的应用． 本节介绍拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的存在定理、 常用函数的拉普拉斯变换，以及拉普拉斯变换的性质． 8.1.1 拉普拉斯变换的定义 傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求 存在．这是一个比较苛刻的要求，一些常用的 函数，如阶跃函数 ，以及 些要求．另外， 等均不满足这 为自变量的函数，往往当 在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间 时没有意义，或者不需要知道 就限制了傅里叶变换应用的范围． 的情况．因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这 为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一 个实函数 ，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本 条件． 首先将函数 乘以单位阶跃函数： 得到 ，则根据傅氏变换理论有 很显然通过这样的处理，当 时， 在没有定 义的情况下问题得到了解决．但是仍然不能回避 在 上绝对可积的限制．为此，我们考虑到当 时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数 于是有 上式即可简写为 这是由实函数 通过一种新的变换得到的复变函数， 这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换． 定义8.1.1 设 实函数 在 上有定义，且积分 （ 为复参变量） 上某一范围 对复平面 收敛，则由这个积分所确定的函数 （8.1.1） 称为函数 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为 像函数），记为 （说明：有的书籍记： ＝ ，即 为函数 的拉氏变换） 综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个 实自变量为 的复值函数，而拉氏变换的像函数则是一个复 变数 的复值函数，由式（8.1.1）式可以看出， 的拉氏变换实际上就是 的傅氏变换 （其中 为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是 一种单边的广义傅氏变换，单边是指积分区间从0到 广义是指函数 要乘上 之后再 作傅氏变换． 例8.1.1 求拉氏变换 【解】 在 ,(按照假设 ) 即为 的半平面， 例8.1.2 求拉氏变换 【解】 在 的半平