第三章 流体运动学.ppt

第三章 流体运动学 第一节 流体运动的描述 第二节 欧拉法的基本概念 第三节 连续性方程 第四节 流体微团运动的分析 本章要点: 熟练掌握定常流、均匀与非均匀流、流线、流管和流量及一维、二维和三维流、有旋流与无旋流等基本概念； 掌握连续性微分方程、一维连续性方程、流体微团的运动分析、描述流体运动的欧拉法；了解迹线、一维流和二维流及三维流等基本概念、描述流体运动的拉格朗日法、非定常流动。　 第一节 流体运动的描述 　 流体运动学研究流体的运动规律，包括描述流体运动的方法、质点速度、加速度的变化和所遵循的规律。本章不涉及流体的动力学性质，所研究的内容及其结论，对无粘性流体和粘性流体均适用。 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续介质的流动。怎样用数学物理的方法来描述流体的运动？这是从理论上研究流体运动规律首先要解决的问题。 描述流体运动有两种方法，有欧拉（Leonhard Euler，瑞士数学家及自然科学家，公元1707～1783年）法和拉格朗日(Lagrange，J.法国数学家、天文学家，公元1736～1813)法。 一、拉格朗日法 拉格朗日法是把流体的运动，看作无数个质点运动的总和，以部分质点作为观察对象加以描述，将这些质点的运动汇总起来，就得到整个流动。拉格朗日法也称为迹线法。 拉格朗日法为识别所指定的质点，用起始时刻的坐标(a，b，c)作为该质点的标志。其位移就是起始坐标和时间变量的连续函数（图3—1）。 　式中a,b,c,t称为拉格朗日变数。 当研究某一指定的流体质点时．起始坐标a，b，c是常数，式(3—1)所表达的是质点的运动轨迹。速度和加速度都是针对某一流体质点而言的，所以，将式(3—1)对时间进行一阶和二阶偏导数，在求导过程中a，b，c视为常数，便得该质点的速度和加速度。 　　 拉格朗日法是质点动力学方法的扩展，物理概念清晰。但是，由于流体质点的运动轨迹极其复杂，应用这种方法描述流体的运动在数学上存在困难，在实用上也不需要了解质点运动的全过程。所以，除个别的流动，都应用欧拉法描述，本书后叙内容均属欧拉法。 　　　例如气象预报就是由设在各地的气象台(站)在规定的同一时间进行观测，并把观测到的气象资料汇总，绘制成该时刻的天气因子，据此发布预报，这样的方法实为欧拉法。 　　　　　　　　 三、 流体质点的加速度，质点导数 　　拉格朗日法以个别质点为对象，式(3—3)即为指定质点（起始坐标a，b，c）的加速度表达式。下面讨论欧拉法质点加速度的表达式，求质点的加速度，就要跟踪观察这个质点沿程速度的变化，这样一来，速度表达式中的坐标x，y，z是质点运动轨迹上的空间点坐标，不能视为常数，而是时间t的函数，即x＝x(t)、y＝y(t)、z=z(t）。因此，加速度需按复合函数求导法则导出： 水箱中的水经收缩管流出(图3—2)，若水箱无来水补充, 水位逐渐降低，管轴线上质点的速度随时间减小，当地加速 度 为负值。同时管道收缩，质点的速度随迁移而增大, 有迁移加速度 为正值，所以该质点的速度为 。 　　若出水管是等直径的直管，且水位H保持不变(图3—3)，则管内流动的水质点，既无当地加速度，也无迁移加速度，　 0。 　　欧拉法描述流体运动，质点的物理量，不论矢量还是标量,对时间的变化率称为该物理量的随体导数或质点导数： 式中　 和　　 A　　　　　　　　　　　　　　　 [例3—1] 已知速场 ， ， ，试求 时，位于 ， ， 处质点的加速度。 [解] 将 代入速度场方程，得： 由式（3—9）得： 同理的 第二节 欧拉法的基本概念 一、 流动的分类 欧拉法描述运动，各运动要素是空间坐标和时间变量的函数，如 。在欧拉法的范畴内，按不同的时空标准．对流动进行分类。 1. 恒定流和非恒定流 以时间为标推，若各空间点上的运动要素(速度、压强、密度等)皆不随时间变化，这样的流动是恒定流，反之是非恒定流，对于