第四章 线性系统的根轨迹法.ppt

第四章 线性系统的根轨迹法 根轨迹法的基本概念 本章要求 1、正确理解根轨迹的概念； 2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹； 3、了解广义根轨迹； 4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势； 5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。 一、 根轨迹法的基本概念（1） 本节主要内容： 1、根轨迹概念 2、根轨迹与系统性能 3、闭环零极点与开环零极点的关系 4、根轨迹方程 一、 根轨迹法的基本概念（2） 4 -1-1 根轨迹概念 1、 根轨迹 B 闭环传递函数 一、 根轨迹法的基本概念（4） D 特征方程的根 特征方程式的根为 E s平面根轨迹 见右图 一、 根轨迹法的基本概念（5） 4 -1 -2 根轨迹与系统性能 1、稳定性 当开环增益从零变到无穷时，上面图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此对所有的K值都是稳定的。 一、 根轨迹法的基本概念（6） 3、动态性能 当0＜K＜0.5时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程； 当K＝0.5时，闭环两个实数极点重合， 系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应 仍为非周期过程，但响应速度较0＜K ＜0.5情况为快； 当K＞0.5时，闭环极为复数极点，系统 为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振 荡过程，且超调量将随K值的增大而加大。 一、 根轨迹法的基本概念（7） 4 -1- 3闭环零极点与开环零极点的关系 1、典型控制系统 系统特征方程为 一、 根轨迹法的基本概念（8） 2、前向通路传递函数 在一般情况下，前向通路传递函数可表示为 一、 根轨迹法的基本概念（9） 3、反馈通路传递函数 在一般情况下，反馈通路传递函数可表示为 一、 根轨迹法的基本概念（10） 4、开环传递函数 系统的开环传递函数可表示为 一、 根轨迹法的基本概念（11） 5、闭环传递函数 将前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s)代入 得 一、 根轨迹法的基本概念（12） 6、开闭环零极点关系 （1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根 轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益 等于开环系统根轨迹益。 （2）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈 通路传递数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环 零点就是开环零点。 （3）闭环极点与开环零点、开环零点以及根轨迹增益 均有关。 一、 根轨迹法的基本概念（13） 4 -1- 4 根轨迹方程 1、系统闭环特征方程 由闭环传函可得系统闭环特征方程为： 一、 根轨迹法的基本概念（14） 3 、根轨迹相角条件（充分必要条件） 二、根轨迹绘制的基本法则 本节主要内容： 1、绘制根轨迹的基本方法 2、根轨迹法则应用举例 3、闭环极点的确定 二、根轨迹绘制的基本法则（1） 本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极 点的确定方法。 在下面的讨论中，假定所研究的变化参数是根 轨迹增值 ，当可变参数为系统的其它参数时， 这些基本法则仍然适用。应当指出的是，用这些基 本法则绘出的根轨迹，其相角遵循条件 ， 因此称为 根轨迹，相应的绘制法则也就可以 叫做 根轨迹的绘制法则。 二、根轨迹绘制的基本法则（2） 4 -2 -1 根轨迹绘制基本法则 法则1 根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 证明：设闭环系统特征方程为 式中 可以从零变到无穷。当 时，有 说明 时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数 G(s)H(s)的极点，所以根轨迹必起于开环极点。 二、根轨迹绘制的基本法则（3） 将特征方程改写为如下形式： 当 时，由上式可得 所以根轨迹必终于开环零点。 二、根轨迹绘制的基本法则（4） 法则2 根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（nm），或与开 环有限零点数m相等（nm)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连 续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数 或共轭复数。 二、根轨迹绘制的基本法则（5） 法则3 根轨迹渐近线 当 nm 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和 交点来确定。 二、根轨迹绘制的基本法则（6） 法则4 实轴上的根轨迹： 若实轴的某一个区域是