21 椭圆nbsp;211 椭圆的定义与标准方程.ppt

* 2．1　椭　圆 ? 2．1.1　椭圆的定义与标准方程 2.1.1 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 学习目标 学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 课前自主学案 温故夯基 1．经过(1,3)、(2,5)的直线方程为_____________. 2．与定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 3．已知P1(1,1)、P2(2,5)，则P1在圆(x－1)2＋y2＝1上，而P2不在圆(x－1)2＋y2＝1上． 2x－y＋1＝0 1．椭圆的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之和为________ (大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的________，两焦点之间的距离叫作椭圆的________． 知新益能 固定值 焦点 焦距 1．平面内动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是什么？当2a|F1F2|时呢？ 提示：当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，不表示任何轨迹．　 思考感悟 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 __________________ ________________ 焦点 ______________ ____________ a、b、c的关系 c2＝a2－b2 (±c,0) (0，±c) 2．椭圆的两种标准方程有什么相同点和不同点？ 提示：相同点：它们的大小和形状都相同，都有ab0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a. 不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)． 思考感悟 课堂互动讲练 求椭圆的标准方程 考点突破 例1 【思路点拨】　求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出a和b即可． 椭圆的定义与标准方程的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识． 例2 已知椭圆的焦点是F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． 【思路点拨】　求得标准方程后，借助定义利用余弦定理求值． 用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． 利用椭圆的定义求轨迹方程 例3 【名师点评】　(1)本例用定义法求轨迹方程． (2)巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA|＋|MB|＝8，而且8|AB|＝6，从而判断动点M的轨迹是椭圆． 1．椭圆的定义中只有当两定点间的距离之和2a|F1F2|时，轨迹才是椭圆；2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；2a|F1F2|时没有轨迹． 2．求椭圆标准方程时应注意的问题 (1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a2、b2的具体数值，常用待定系数法． 方法感悟 本部分内容讲解结束 点此进入课件目录 按ESC键退出全屏播放 谢谢使用 ＋＝1(ab0) ＋＝1(ab0) 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件． 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 【解】　(1)由于椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为＋＝1(ab0)． 2a＝＋＝10， a＝5.又c＝4，b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的方程为＋＝1. (2)由于椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(ab0)． 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ? 故所求椭圆的方程为＋x2＝1. 【方法小结】　(1)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式．焦点