标尺刻度的设计.ppt

* 标尺刻度的设计 13.1 实验目的 本实验涉及微积分和线性代数的若干基本知识。通过实验复习函数的反函数、定积分的应用和计算、解微分方程和解代数方程组等内容；并且介绍了连续型数学问题近似化处理的若干基本技巧，例如插值法、二分法和两点边值问题的差分法等。 13.2 实际问题 在石油的生产地和加工厂，为了储存原油，经常使用大量的储油罐。油罐的外形为一个圆柱体和两个圆锥体的组合，上端有一注油孔（见图13.1）。 由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中剩油的数量。这给现有储油量的统计带来很大的麻烦。显然，将剩油取出计量是不现实的。因此，希望能设计一个精细的标尺：工人只需将该尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少。这是一个来自油田的问题。 13.3 数学模型 设圆柱的底面半径为R，长度为L；而圆锥的底面半径也是R，高为A。若标尺被油浸湿位置的高度为H，而此时罐内的油量为V。那么我们的问题归结为求出函数 换言之，要求油量函数 的反函数。 由于对称性，我们只要研究 的情形就行了。 13.4 问题的解法 Ⅰ．求油量函数的解析方法 其中 和 分别为相应圆柱和圆锥（一侧部分） 中的储油量。 先求 。 设圆柱体截面中储油部分对应的弓形区域面积为S(H)，弓形对应的圆心角的一半为 那么易得 利用三角函数表达式，就有 再求 设与圆锥体底面平行且距底面x处的截面上表示储油部分的弓形区域面积为Q，那么和前面S不同的是：Q不仅与H有关，而且与x有关。设该弓形的半径为r高为h， 由几何关系（见图13.3）不难看出： 从而得到 于是类似于S的求法，有 通过作变换 这个积分虽然比较复杂，但还是可以积出来，建议读者自己进行计算，也可以借助数学软件。具体结果为 从而可知 综合（13.4）、（13.6）和（13.11）三式，就有 Ⅱ．刻度位置函数的求法 显然，要由油量函数的解析表达式（13.12）来解析地求出反函数H(V)的显式表示是不可能的。 介绍两种近似方法。 1．插值法 将区间[0，R]作如上等分： 那么由式（13.12）可以求得V在各分点的值： 现在的问题是：如果给出油量V*，如何确定（求出）相应的标尺刻度位置H*？ 而这实际上是求方程 的根。 （1）线性插值 设 ，在此区间上用线性函数近似H(V)，则有 （2）二次插值 先找出最接近的V*的 用二次函数近似H(V)，则有 ，然后在 插值方法还有多种，这里介绍的是最简单的。 * * *