数学物理方法第十二章.pptVIP

１2.１　傅里叶变换法解数学物理定解问题 * * 在复变函数理论中，我们曾用拉普拉斯变换法求解 常微分方程．经过变换，常微分方程变成了代数方程， 解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程 的解． 积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法．对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解．积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途．尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解．利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变 量法不能得到的． 特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来 求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题 也可以用行波法求解） 用积分变换求解定解问题的步骤为： 第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换； 对于自变量在 内变化的定解问题（如无界域 的坐标变量）常采用傅氏变换，而自变量在 内变化 的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换． 第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程； 第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解 条件； 第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换； 第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解．　 用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到 的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分． 因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很 适用的求解方法．本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式． 下面的讨论我们假设待求解的函数 及其一阶导数是有限的 . 12.1.1 弦振动问题 例1 求解无限长弦的自由振动定解问题 （假定：函数 及其一阶导数是有限的) 简化表示为 对其它函数也作傅氏变换，即为 解 应用傅里叶变换，即用 遍乘定解问题中的各式， 并对空间变量x积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对： 于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题 上述常微分方程的通解为 代入初始条件可以定出 这样 最后，上式乘以 并作逆傅氏变换．应用延迟定理和积分定理得到 这正是前面学过的的达朗贝尔公式. 为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便，我们特举一强迫弦振动问题： 求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题 解 根据与例1 相同的方法，作傅氏变换 例2 我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题 上述问题的解为 利用傅氏变换的性质有 代入得到 即得 故得到 12.1.2 热传导问题 例 3 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题 解 作傅氏变换 定解问题变换为 常微分方程的初值问题的解是 再进行逆傅里叶变换， 交换积分次序 引用积分公式 且令 以便利用积分公式，即得到 例4 求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题 解 利用 对定解问题作傅氏变换，得到常微分方程的定解问题 上述问题的解为 为了求出上式的逆变换，利用下面傅氏变换的卷积公式，即 若 则 而积分 即为 最后得到定解问题的解为 12.1.3 稳定场问题 我们先给出求半平面内 拉普拉斯方程的第一 边值问题的傅氏变换系统解法（读者可以与格林函数解法进 行比较） 例 5 定解问题 解 对于变量 作傅氏变换，有 定解问题变换为常微分方程 因为 可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为 因为 ，故得到 常微分方程的解为 设 根据傅氏变换定义， 的傅氏逆变换为 再利用卷积公式 最后得到原定解问题的解为 容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式． 例6 如果定解问题为下列第二边值问题 解 令 即 容易得到 满足定解问题为 则根据上述稳定场第一边值问题公式 故得到 本节介绍另一种变换法：拉普拉斯变换法求解定解问题． 12.2.1 无界区域