数学物理方法第十章.pptVIP

* 母函数应用：勒让德多项式模的计算 10.2 连带勒让德函数 （一）函数 设 (1)表达式 * (2) 微分表示 情况： 二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边界条件的本征解只有一个，故这两个解只相差一个常数。 比较最高次幂系数 * (3)积分表示 （二）正交关系 （三）模 多次分步积分： （四）广义傅立叶级数 * * 连带勒让德函数 以 为基，再[-1,1]区间展开函数 例1 例2 * 项系数有贡献 项系数有贡献 每项含有x * 10.3 一般的球函数 （一） 球函数 （二）正交关系 （三）模 （四）球面上的广义傅立叶级数 * 例1 例2 注意： * 例3 偶极矩的电场中的电势 解 沿x轴 * 沿y轴 沿z轴 m=0 沿任意方向 (五)拉普拉斯方程的非轴对称解 例4 球内解 * 其余 边界条件： 例5 球外解 * 四极矩 取分量： 一个偶极矩的电势 两个偶极矩的电势 偶极矩 * 一般的 * 加法公式： 用一般球函数 展开 复数形式 矢量OP与OM的标积 归一化球函数 * 偏微分方程 常微分方程组 分离变量 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数） 特殊函数 勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式； 贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、 超几何，合流超几何等函数。 * 一般的球函数 球函数方程： 球函数（l 称作球函数的阶）： 10.1 轴对称球函数 * 轴对称拉普拉斯方程的求解 * （一）勒让德多项式 处有限 （1）代数表示 则对 约定最高次幂系数 * 勒让德多项式： ：小于、等于 l /2的最大整数。 每项总含 x 唯一不含 x 的项 * * 勒让德多项式的图象 * (2) 微分表示（罗德里格斯公式） 证： * (3) 积分表示（施列夫积分） 由科西公式 C 绕 z=x 点。 设半径为 C 上 * 即 第二类勒让德函数 勒让德方程的一般解 由朗斯基行列式导出第二个线性独立解 * 在x = ?1处均发散 本征值 v =0, 1, 2, 3, … 在 x =0点邻域内，两个线性无关解 附录4：对于一般的 v值，两个解在 x = ?1 处均对数发散 * （三） 正交关系 （四） 模 习题9.3（5）P261 在 x =1点邻域内，两个线性无关解 第一类勒让德函数 第二类勒让德函数 在 x =1点解析 在 x =1点发散 若还要求在 x = -1点有界， 本征值 v =0, 1, 2, 3, … x = 1点有界 * 第一项为零，即 进行 l 次分步积分后 只有最高次幂才不为零，故 再逐次进行分步积分，得 即 * （五）广义傅立叶级数 定义在区间 [-1,1]的函数f(x)可以展开为广义傅立叶级数 展开系数为 或区间 [0,?] 的函数 f(?)展开为 系数为 勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在平均收敛意义下，可展开为级数 平均收敛： * * 正交性 正交性应用例题 模 例1： 在[-1,1]中将 展开为广义傅立叶级数。 解： 比较 展开式最多含三阶勒让德多项式。 * 例2 是奇函数： x=1为二阶零点 * 因 找出 项，它在 x=0 才不为零 * 例3 解： 由轴对称 球内含 所以 （六）拉普拉斯方程的轴对称定解问题 边界条件与角?无关，可以推断 解也与角?无关。故m=0 边界条件： * 例 4 定解问题： 偶延拓： 或 或 * * 例 5 均匀电场中放置介电常数ε的球，求介质球内、外的电场 解： 无穷远处有边界条件， 球面处有衔接条件。 取球坐标，z-方向沿 轴对称拉普拉斯问题 内外分别讨论，然后连接起来 边界条件： 衔接条件： Internal: External: 电势连续： 电位移连续： 有限 * 轴对称拉普拉斯方程解的一般形式： 球内 有限： 球外无穷远边值： * 利用衔接条件： 解得 * 球内电场强度： * （七）母函数 定义： 叫勒让德多项式的母函数。 电荷在单位球的北极。 求球内任一点电势。 它又是拉普拉斯方程的内解： 令 故 * 令 所以 半径 R 的球： 球外 * 例6 解： 利用已知结果。 导体内：等势。 导体外： 无导体时 有导体时，设 接地 * 又 是 处电荷 的电势。这个电荷叫原电荷的镜像。 是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。 * （八）递推公式 两边对r求导 或 两边同幂 的系数 递推公式 *