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其中 为已知函数。我们称（1）为 应满足的初始条件。 一、弦振动问题的定解条件 1、初始条件 方程（1）或（2）描述了弦振动的一般规律，但 是弦振动的具体情况还与弦两端的约束情况以及弦上 各点在初始时刻的位移和速度有关，即还需附加边界 条件和初始条件。 设弦在开始时刻位于点x的位移为 ，初速度为 。即 一般地，一个方程如果其关于时间的导数的最高 阶导数为n，则对应的初始条件需要给出未知函数关 于时间直到n-1阶导数的所有初始时刻的值。 2、边界条件 （1）为了确定弦的运动还需给出边界条件。最简 单的边界条件为已知端点的位移规律，即 其中 为两个已知函数。这种边界条件被称为狄利克雷(Dirichlet)边界条件（也称为第一类边值条件）。 特别地，如果在整个振动过程中弦的两端保持固定 ，即 都恒为0时，称为第一类齐次边值条件 。也就是 （2）在前面所讨论的弦振动问题中，若弦的一段 （例如x=0）在u轴方向上自由滑动，且不受垂直方 向的外力。这种边界称为自由边界。由于在 x=0处的 张力的分量为 ，于是 若边界张力沿u方向的分量是关于时间t的一个已 知函数w(t)，则相应的 边界条件为 这种类型的边界条件称为诺伊曼（Neumann）边 界条件，也称为第二类 边界条件。 （3）若弦的一端束缚在与Ox轴垂直的弹簧上，弹 簧的弹性系数为k。 u在 x=l的值表示该弹性支承在该 点的伸长。 弦在支承拉力的垂直方向的分为 。 由Hooke定律，有 因此在弹性支承的情况下，边界条件归结为 其中 为已知函数。 在数学中还可以考虑更普遍的边界条件 其中h(t)为已知函数。(6)(7)称为第三类边界条件， 也称洛平(Robin) 边界条件。 边界条件和初始条件统称为定解条件，其中(2) (5)(7)称为非齐次边界条件，(3)(4)(6)称为齐次边 界条件。一个偏微分方程及其附加的定解条件构成 一个定解问题。在以后的讨论中，我们把定解问题 中的方程有时也称为泛定方程。 二、热传导方程的定解条件 显然与弦振动问题类似，单靠一个微分方程还不足以完全确定一个特定的物理过程。我们知道，对于一个物体，在一个确定的传热过程中，它的温度分布依赖于开始时刻的温度和物体表面上的温度，因此还须对方程附加相应的初值条件和边值条件。 初始条件下可以写成： 其中 为已知函数，它描述物体在 t=0 时刻 的温度分布。 关于边界条件，从物理现象发生的过程来看有三种 情况： 情形1：若物体 的表面 的温度分布已知，这时 可归结为第一类边界条件： 其中 是给定在 上的已知函数。 情形2：若已知物体 表面上每一点的热流密度q，也就是通过边界曲面 上的单位面积单位时间内的热量已知，这实际上表示温度 u 沿边界曲面 的法向导数是已知的，这时可以归结为第二类边界条件： 其中 是给定在 上的已知函数。 特别，如物体 的边界是绝热的，即物体与周围介质无热交换，于是 ，这时归结为第二类齐次边界条件： 情形3：若已知通过 与周围介质发生热量交换。 不妨设周围介质在物体表面的温度为 ，则 物体 和外部介质的温度差为： 此时会产生热量流动。根据牛顿热交换定律：在无穷 小时段内，经过物体 表面的无穷小面积 dS的流出 （入）到周围介质中的热量和物体与介质在接触面上 的温度差成正比。即 这里 为热交换系数。 由傅里叶定律，应有 。 根据热量守恒定律，得 即 其中 。 对于拉普拉斯方程和泊松方程，因为是描述稳恒状 态的，与时间无关，所以不提初始条件，只提边界条 件，其边界条件与前面两类方程类似。 三、Laplace方程的定解条件 四、定解问题 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解 问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解 问题