数理方程第讲.pptVIP

第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动 在高等数学中我们知道一个普通的函数f(x)经常能够展开成级数. 例如, 幂级数的形式就是: f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+?其中无穷多个函数v0(x)=1, v1(x)=x, v2(x)=x2, ?, 等等, 构成了级数展开的一个函数系.而三角级数的形式就是 f(x)=a0+a1sinx+b1cosx+a2sin2x +b2cos2x+?其中的无穷多个函数1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, 也构成了级数展开的一个函数系. 因此, 一般而言, 一个函数f(x)能够在一个函数系v0(x), v1(x), v2(x), …下展开成级数的形式为f(x)=a0v0(x)+a1v1(x)+a2v2(x)+?那么, 一个二元函数u(x,t), 将t固定住视为常数, 看作x的函数, 则也能够在函数系v0, v1, v2, …下展开成级数的形式 u(x,t)=a0(t)v0(x)+a1(t)v1(x)+a2(t)v2(x)+?其中的每一项都是两个一元函数的乘积ai(t)vi(x), 这样构成的二元函数我们称之为可分离变量的. 而如果级数中的每一项都是线性偏微分方程的解, 则此级数也就是线性偏微分方程的解. 讨论两端固定的弦自由振动的定解问题: 代入方程(2.1)得 X(x)T(t)=a2X(x)T(t)或 再利用边界条件(2.2), 由于u(x,t)=X(x)T(t), X(0)T(t)=0, X(l)T(t)=0.但T(t)?0, 如果T(t)=0, 这种解称为平凡解, 所以 X(0)=X(l)=0 (2.6)因此, 要求方程(2.1)满足条件(2.2)的变量分离形式的解, 就先要求解下列常微分方程的边值问题 要确定l取何值时(2.5)才有满足条件(2.6)的非零解, 又要求出这个非零解X(x). 这样的问题称为常微分方程(2.5)在条件(2.6)下的特征值问题, 使问题(2.5),(2.6)有非零解的l称为该问题的特征值, 相应的非零解X(x)称为它的特征函数.下面分l0, l=0和l0三种情况来讨论, 将得出结论l0和l=0不能成立. 而方程X(x)+lX(x)=0的特征方程为 r2+l=0当l0时, 特征根为方程的通解为 1o 设l0, 此时方程(2.5)的通解为 2o 设l=0, 此时方程(2.5)的通解为 X(x)=Ax+B,由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于零 设l0, 并令l=b2, b为非零常数. 此时方程(2.5)的通解为 X(x) = A cos bx+B sin bx,由条件(2.6)得 A = 0 B sin bl = 0由于B不能为零, 所以sin bl=0, 即 (2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数为: 其通解为: 为满足初始条件(2.3), 求出原问题的解, 将(2.10)中所有函数un(x,t)叠加起来: 将初始条件(2.3)代入上式得: 复习高等数学中周期为2l的傅立叶级数:如果周期为2l的周期函数f(x)为奇函数, 则有 这时l=10, 并给定a2=10000. 这个问题的傅里叶级数形式解可由(2.11)给出. 其系数按(2.12)式为 Dn=0, 因此, 所求的解为 解题中常用到的积分表的内容: 分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项: 某一时刻n=1,2,3的驻波形状 综合上述, 可知u1(x,t),u2(x,t),…,un(x,t),…是一系列驻波, 它们的频率, 位相与振幅都随n不同而不同. 因此一维波动方程用分离变量法解出的结果u(x,t)是由一系列驻波叠加而成的, 而每一个驻波的波形由特征函数确定, 它的频率由特征值确定. 这完全符合实际情况. 因为人们在考察弦的振动时, 就发现许多驻波, 它们的叠加又可以构成各种各样的波形, 因此很自然地会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的解. 这就是分离变量法的物理背景, 所以分离变量法也称为驻波法. §2.2 有限长杆上的热传导 设有一均匀细杆, 长为l, 两端点的坐标为x=0与x=l, 杆的侧面是绝热的, 且在端点x=0处温度是零摄氏度, 而在另一端x=l处杆的热量自由发散到周围温度地零度的介质中去, 已知初始温度分布为j(x). 求杆上的温度变化规律, 也就是要考虑下列定解问题: 用分离变量法来解此问题, 设 u(x,t)=X(x)T(t),代入方程(2.13)得 从而得到两个线性常微分方程 于是得到无穷多个特征值 由于方程(2.13)与边界条件(2.14