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第6讲 二、寻求估计量的方法 例2： 解 例6 1．无偏性 证 例3 求极大似然估计的一般步骤： 练习 例题 解答 解：似然函数为 对数似然函数为 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 求 的极大似然估计. 其中 0, 例2 求导并令其为0 =0 从中解得 即为 的MLE . 对数似然函数为 似然函数为： -------它与矩估计量是相同的。 极大似然估计不变性 解：似然函数为 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 其中 0,求 的极大似然估计. i=1,2,…,n 例4 对数似然函数为 解：似然函数为 i=1,2,…,n 求导方法无法求参数 的MLE. 是 对 故使 达到最大的 即 的MLE， 取其它值时， 且是 的增函数 由于 这时要用极大似然原则来求 . 即 为 的MLE . 由于估计量作为样本的函数是一个随机变量, 对于不同的样本值, 估计值也不同, 因此评价一个 估计量的优劣就不能仅由一个观测值来确定, 而要 根据估计量的统计性质来评价. 通常一个好的估计 量其观测值应在待估计参数的真值附近波动, 且波 动的幅度越小越好, 即要使估计量与待估计参数在 某种统计意义下非常“接近”. 常用的几条标准是： 1．无偏性 2．有效性 3．相合性 这里我们重点介绍前面两个标准 . 第2节 估计量的评选标准 而它的期望值等于未知参数的真值. 则称 为 的无偏估计 . 设 是未知参数 的估计量，若 . 真值 估计量是随机变量， 对于不同的样本值会得到不同的 估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附近摆动， 这个标准 . 这就导致无偏性 定义 无偏性的意义是：用 来估计 时无系统偏差。 例如 设总体X的数学期望 μ存在， 是X的样本，求证 均为μ的无偏估计。 为σ2 的无偏估计量 不是σ2 的无偏估计量 用Sn2来估计σ2有系统偏差。 例2 设 是总体 的样本. 使 为 的无偏估计量; 求 故当 时, 一个未知数可以有不同的无偏估计量。 解 例：由大数定律知 一致性说明：对于大子样，由一次抽样得到的估计量 的值可作θ的近似值 3．有效性 设 和 都是参数 的无偏估计量，若有 定义3 则称 较 有效 . 若 的所有二阶矩存在无偏估计量中有一个估计量 ， 使对任意无偏估计量 有 例4 设总体 的数学期望和方差都存在, 是 X 的样本, 证明统计量 都是总体均值 的无偏估计量, 并确定哪个估计量更有效. 解 设 故 都是总体均值 的无偏估计量. 又由于 估计量 更有效. 下面讨论无偏估计方差的下界，达到这个下界的无偏估 量称为优效估计量（最小方差无偏估计）。 定理：罗－克拉美不等式 －－罗－克拉美不等式 右端为罗－克拉美下界，记为 类似：d.r.v 注：有时能找到无偏估计使它的方差达到这个下界，有时达不到 二、估计量的评选标准 一 、点估计 参数估计 三、区间估计 四、正态总体均值与方差的 区间估计 参数估计是统计推断的基本问题之一， 问题中， 并不一定要求密度函数， 而只要知道参数那么 在许多实际 分布就决定了。 考察灯泡厂生产的灯泡质量， 由于种种随机 易知灯泡使用寿命是随机变量， 记为 且 问题： 如何估计 和 ？ 引例1 因素的影响， 知道了参数μσ2的值，那么寿命X的分布就完全 确定了. 参数估计要解决问题: 总体分布函数的形式为已知, 需要确定未知参数。 但其中参数 未知时， 这类问题称为参数估计问题。 只有当参数 确定后， 才能通过 概率密度函数计算概率。 对于未知参数， 如何应用样本 所提供的信息去对其一个或多个未知参数进行估计。 对未知参数估计的两种方法： 通过样本 1、 点估计 2、区间估计 §1 点估计 点估计问题： 1. 矩估计法 2. 最大似然法 1. 矩估计法 建立的一种估计方法 . 基于 “替换”思想 理论依据: 这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值称为矩估计值。 例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 设总体 在 上服从均匀分布， 解： 由矩法, 解得 标准差 例5 某厂生产螺母， 从某日的产品中随机抽取 8 件， 量得内径（毫米）如下： 15.3 14.9 15.2 15.1 14.8 14.6 15.1 14.7 试估计该日生产这些螺母内径的均值和标准差。 解:由密度函数知