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所不同的是：这时的置信区间是近似的。 这是求一般总体均值的一种简单有效的方法，其理论依据是中心极限定理，它要求样本大小 n 比较大。因此，这个方法称为大样本方法。 设总体均值为 μ, 方差为σ2 , X1, X2, …, Xn 为来自总体的样本。因为这些样本独立同分布的，根据中心极限定理，对充分大的 n, 下式近似成立 因而，近似地有 于是， μ 的置信系数约为1-α 的置信区间为 当σ2未知时，用σ2的某个估计，如 S2 来代替， 得到 只要 n 很大，(2)式所提供的置信区间在应用上是令人满意的。 那么，n 究竟多大才算很大呢？ 显然，对于相同的 n , (2)式所给出的置信区间的近似程度随总体分布与正态分布的接近程度而变化，因此，理论上很难给出 n 很大的一个界限。 但许多应用实践表明：当 n≥30时，近似程度是可以接受的；当 n≥50时，近似程度是很好的。 例1：某公司欲估计自己生产的电池寿命。现从其产品中随机抽取 50 只电池做寿命试验。这些电池寿命的平均值为 2.261 (单位：100小时)，标准差 S=1.935。求该公司生产的电池平均寿命的置信系数为 95% 的置信区间。 解：查正态分布表，得 zα /2= z0.025=1.96，由公式 (2)，得电池平均寿命的置信系数为 95% 的置信区间为 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p， 现在做 n 次试验，以Yn记事件 A 发生的次数,则 Yn ~ B(n, p)。依中心极限定理，对充分大的 n，近似地有 7.6.1 二项分布 (3)式是(1)式的特殊情形。 (4)式就是二项分布参数 p 的置信系数约为1-α 的置信区间。 例2：商品检验部门随机抽查了某公司生产的产品100件，发现其中合格产品为84件，试求该产品合格率的置信系数为0.95的置信区间。 解：n=100, Yn=84, α =0.05, zα/2=1.96, 将这些结果代入到(4)式，得 p 的置信系数为0.95的近似置信区间为 [0.77, 0.91]。 例3：在环境保护问题中, 饮水质量研究占有重要地位， 其中一项工作是检查饮用水中是否存在某种类型的微生物。假设在随机抽取的100份一定容积的水样品中有20份含有这种类型的微生物。试求同样容积的这种水含有这种微生物的概率 p 的置信系数为0.90的置信区间。 解：n=100, Yn=20, α =0.10, zα/2=1.645, 将这些结果代入到(4)式，得 p 的置信系数为0.90的近似置信区间为 [0.134, 0.226]。 7.6.2 泊松分布 设 X1, X2 ,…, Xn 为抽自具有泊松分布P(λ )的总体的样本，因为 E(X)=D(X) = λ ，应用(2)式，并用 例4：公共汽车站在一单位时间内 (如半小时,或1小时, 或一天等) 到达的乘客数服从泊松分布 P( λ ), 对不同的车站, 不同的仅是参数 λ 的取值不同。现对某城市某公共汽车站进行100个单位时间的调查。这里单位时间是20分钟。计算得到每 20 分钟内来到该车站的乘客数平均值为 15.2 人。试求参数 λ 的置信系数为95%的置信区间。 解: n=100, α=0.05, zα /2=1.96, 将这些结果代入到 (5) 式, 得 λ 的置信系数为0.95的近似置信区间为 [14.44, 15.96]。 也就是说，给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数 μ 。 这里的“可靠度”是用概率来度量的，称为置信系数，常用 表示 置信系数的大小常根据实际需要来确定，通常取0.95或0.99，即 根据实际样本，由给定的置信系数，可求出一个尽可能短的区间 ，使 为确定置信区间，我们先回顾前面给出的随机变量的上α 分位点的概念。 书末附有χ2分布、t 分布、F分布的上侧分位数表可供使用。需要注意的地方在教材上均有说明。 现在回到寻找置信区间问题上来。 区间估计的定义 定义1： 实际应用上，一般取 α = 0.05 或 0.01。 §7.5 正态总体参数的区间估计 根据基本定理 (见定理6.4.1) ，知 7.5.1 单正态总体参数的区间估计 也可简记为 于是，μ 的置信区间为 例1: 某厂生产的零件长度 X 服从 N(? , 0.04),现