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数量乘矢量
1.3 数量乘矢量 背景 * 牛顿力学 定义1.3.1 实数 与矢量 的乘积是一个矢量, 记做 它的模是 的方向: 当 时与 相同, 当 时与 反向. 我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法,简称为数乘. 时, 当 就是矢量 的反矢量. 已知矢量 的单位向量 (与 同向,长度为1), 记为 表示什么? 有时记 即有: 或 定理1.3.1 数量与矢量的乘法满足下面的运算规律: 1) 2) 3) 4) 数因子结合律 第一分配律 第二分配律 这里 是矢量, 是任意实数. 证明: 1) 由定义1.3.1, 等式两边的矢量显然相等. 2) 分情况进行 当 或 中至少有一个为0时, 比如 那么就有 同时有 所以有 情形 I 情形 II 当 时, 当 的方向都与 相同. 当 的方向都与 反向. 这说明,不论 的符号如何, 的大小和方向都相同. 证毕. v v v v 3) 矢量对数因子的分配律,证明类似于2), 略. 4) 证明: 分以下三种情形证明. 情形 1 情形 2 总可以取到实数m, 使 ? v v v 因此,我们有 情形 3 (如图) O A B A1 B1 A1 B1 注意: 所以, 以后,矢量与数的运算可以象多项式运算一样进行. 例如, 利用数乘矢量的概念和运算律,可以解决一些几何问题. 例1.设AM是三角形ABC的中线,求证: 例2.用矢量方法证明:连结三角形两边中点的线 段平行于第三边且等于第三边的一半。
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