数项级数的收敛判别法.pptVIP

前面所讲的常数项级数中，各项均可是 正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊 情况。如果级数中各项是由正数或零组成， 这就称该级数为正项级数。同理也有负项级 数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项 级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数 在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛 散性讨论都会转为正项级数的敛散性. 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 解 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 级数收敛. 例12 判别级数 的敛散性,其中x0, a0为常数 解：记 即 当xa时， 当0xa时， 当 x = a 时，?=1, 但 故原级数发散. 综上所述， 当 0xa 时，原级数收敛. 当 x ? a时，原级数发散. 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 证明 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 解 原级数收敛. 练习 判别级数 的敛散性. 解：这是一个交错级数， 又 令 x?[2, +?)，则 x?[2, +?) 故 f (x)? [2, +?)，即有un?un+1成立 由莱布尼兹判别法，该级数收敛. 定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 证明 上定理的作用： 任意项级数 正项级数 例如 解 故由定理知原级数绝对收敛. 解 故由定理知原级数发散. 练习2 级数 是否绝对收敛? 解： 由调和级数的发散性可知 故 发散. 但原级数是一个收敛的交错级数 故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的. 绝对收敛的级数几个注释： 1、绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变 其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不 成立. 2、对于级数的乘法，我们规定两个级数按多项式 乘法规则形式地作乘法： 如果两个级数都绝对收敛，则两个级数相乘所得到的级数也绝对收敛；且当 若两个级数不绝对收敛，则上式不一定成立。 四、任意项级数的收敛判别法 绝对收敛定理只能判别级数的绝对收敛性，而不能判别级数的条件收敛性。为了讨论级数的条件收敛性，我们给出两个常用的一般级数判别发，先看一个引理。 E-mail: xuxin@ahu.edu.cn 2.交错级数的收敛判别法 3.绝对收敛与条件收敛 4.任意项级数的收敛判别法 1.正项级数的收敛判别法 §2 数项级数的收敛判别法 定义 设级数 为正项级数. 显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增加的， 即 一、正项级数的收敛判别法 定理 正项级数 收敛 有界. 证: “ ” 收敛 收敛 有界. 有界,又 是一个单调上升数列 存在 收敛. “ ” 证明:这是一个正项级数，其部分和为: 故{sn}有界，所以原级数收敛. 定理1(比较判别法) 设 与 是两个正项级数， 且 那么 （1）如果 收敛，则 收敛。 （2）如果 发散，则 发散。 证: 设 和 分别表示 和 的部分和， 显然由 (1) 收敛 有界 有界 也收敛. (2) 发散 无界 无界 也发散. 例2 判定p-级数 的敛散性. (常数 p0) 由此可得结论，p级数 当 时发散，p1时收敛. 证明 思考题：若正项级数 则下列级数的敛散性 (2) (3) 收敛， (1) 例4 判断下列级数的敛散性 定理2（比较审敛法的极限形式） 设 ? ￥ = 1 n n u 与 ? ￥ = 1 n n v 都是正项级数 , 如果 则 (1) 当 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; (3) 当 时 , 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 , 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 ; 证明 由比较审敛法的推论, 得证. (2) 由于 (?=0) 取?=1时，?N 0, 当n N时， 故由比较判别法，当?=0时， (3) 由于 (?= ??)，故 ?M 0 (不妨取M 1) , ?N 0, 当n N 时， 即 0 ? vn un , 由比较判别法，当?= ??时， 解 原级数发散. 故原级数收敛. 练习1 判别级数 的敛散性 (a0为常数) 解：因为 (即?=1为常数) 又 是调和级数，它是发散的 发散. 故原级数 练习2 判别级数 的敛散性，其中, x0为常数. 解：由于 而 是n=2的P一级数，收敛的 故原级数 比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 例7 判别级数 解: 由比值判别法可知所给级数发散. 由比值判别法可知所给级数发散. 例9 判别级数 的敛散性,其中x0为常数 解：记 即 ?=01，故该级数收敛. 例10 判别级数 的敛散性,其中x?0为常数. 解：记 即